Номер 103, страница 173 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

103. В группе детского сада 25 детей. Из них 7 детей любят груши, 11 — яблоки, 2 — груши и яблоки, 6 — груши и апельсины, 5 — апельсины и яблоки. В группе два ребёнка любят все фрукты и четверо таких, кто не любит никакие из этих фруктов. Сколько детей этой группы любят апельсины?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств. Введем обозначения:

• $Г$ — множество детей, которые любят груши.
• $Я$ — множество детей, которые любят яблоки.
• $А$ — множество детей, которые любят апельсины.

Из условия задачи нам известны следующие данные:

• Общее число детей в группе: 25.
• Любят груши: $|Г| = 7$.
• Любят яблоки: $|Я| = 11$.
• Любят груши и яблоки (пересечение): $|Г \cap Я| = 2$.
• Любят груши и апельсины (пересечение): $|Г \cap А| = 6$.
• Любят апельсины и яблоки (пересечение): $|А \cap Я| = 5$.
• Любят все три фрукта (пересечение всех трех множеств): $|Г \cap Я \cap А| = 2$.
• Не любят ни один из этих фруктов: 4.

Сколько детей этой группы любят апельсины?

1. Первым шагом определим общее количество детей, которые любят хотя бы один из перечисленных фруктов. Для этого из общего числа детей в группе вычтем тех, кто не любит ни один из фруктов:

$25 - 4 = 21$ (ребенок).

Это число представляет собой мощность объединения трех множеств, то есть $|Г \cup Я \cup А| = 21$.

2. Далее применим формулу включений-исключений для трех множеств:

$|Г \cup Я \cup А| = |Г| + |Я| + |А| - (|Г \cap Я| + |Г \cap А| + |Я \cap А|) + |Г \cap Я \cap А|$.

3. Подставим в формулу все известные значения. Нам нужно найти $|А|$ — количество детей, которые любят апельсины.

$21 = 7 + 11 + |А| - (2 + 6 + 5) + 2$.

4. Упростим выражение и решим уравнение относительно $|А|$:

$21 = 18 + |А| - 13 + 2$

Сгруппируем числовые значения в правой части уравнения:

$21 = (18 - 13 + 2) + |А|$

$21 = 7 + |А|$

Теперь найдем $|А|$:

$|А| = 21 - 7$

$|А| = 14$

Таким образом, 14 детей в группе любят апельсины.

Ответ: 14