Номер 53, страница 289 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

53. Один из углов треугольника равен $72^\circ$. Верно ли, что треугольник:

а) остроугольный;

б) не прямоугольный;

в) не тупоугольный;

г) нельзя определить?

Выберите правильный ответ.

Пусть даны три угла треугольника $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию задачи, один из углов равен $72^\circ$. Для определенности, пусть $\alpha = 72^\circ$.

Мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Это можно записать в виде формулы: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставив известное значение угла $\alpha$, мы можем найти сумму двух других углов: $72^\circ + \beta + \gamma = 180^\circ$ $\beta + \gamma = 180^\circ - 72^\circ$ $\beta + \gamma = 108^\circ$

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов, чтобы понять, какой из них является верным утверждением.

а) остроугольный;
Остроугольным называется треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90^\circ$). Угол $\alpha = 72^\circ$ является острым. Однако, мы не можем утверждать, что два других угла также обязательно будут острыми. Например, если угол $\beta$ будет равен $95^\circ$ (тупой угол), то угол $\gamma$ будет равен $108^\circ - 95^\circ = 13^\circ$. Такой треугольник с углами $72^\circ, 95^\circ, 13^\circ$ существует и является тупоугольным. Следовательно, утверждение, что треугольник обязательно остроугольный, неверно.
Ответ: неверно.

б) не прямоугольный;
Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов равен $90^\circ$. Проверим, возможно ли это в нашем случае. Так как данный угол равен $72^\circ$, один из двух других углов должен быть равен $90^\circ$. Пусть $\beta = 90^\circ$. Тогда третий угол $\gamma$ будет равен $108^\circ - 90^\circ = 18^\circ$. Мы получаем возможный треугольник с углами $72^\circ, 90^\circ, 18^\circ$, который является прямоугольным. Следовательно, утверждение, что треугольник не может быть прямоугольным, неверно.
Ответ: неверно.

в) не тупоугольный;
Тупоугольным называется треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше $90^\circ$). Проверим, возможно ли это. Угол $\alpha = 72^\circ$ — острый. Значит, тупым должен быть один из двух других углов. Пусть угол $\beta$ будет тупым, например, $\beta = 100^\circ$. Тогда угол $\gamma = 108^\circ - 100^\circ = 8^\circ$. Мы получаем возможный треугольник с углами $72^\circ, 100^\circ, 8^\circ$, который является тупоугольным. Следовательно, утверждение, что треугольник не может быть тупоугольным, неверно.
Ответ: неверно.

г) нельзя определить?
Как показано выше, имея информацию только об одном остром угле треугольника, мы не можем однозначно определить его вид. Треугольник с углом $72^\circ$ может быть:

• Остроугольным (например, с углами $72^\circ, 70^\circ, 38^\circ$)
• Прямоугольным (с углами $72^\circ, 90^\circ, 18^\circ$)
• Тупоугольным (с углами $72^\circ, 100^\circ, 8^\circ$)

Поскольку возможны все три варианта, на основании имеющихся данных определить тип треугольника невозможно. Таким образом, это утверждение является единственно верным.
Ответ: верно.