проверь себя, страница 81 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

Проверь себя!

В каких случаях не всегда можно получить результат действия в виде конечной десятичной дроби, переходя от обыкновенных дробей к десятичным:

а) при сложении десятичных дробей;

б) при сложении обыкновенных и десятичных дробей;

в) при вычитании десятичных дробей;

г) при вычитании обыкновенных и десятичных дробей?

Чтобы понять, в каких случаях результат действия не всегда будет конечной десятичной дробью, нужно вспомнить основное правило перевода обыкновенной дроби в десятичную. Обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя на простые множители нет других чисел, кроме 2 и 5. Все десятичные дроби по определению являются конечными.

Проанализируем каждый вариант:

а) при сложении десятичных дробей; Ответ: Сумма двух конечных десятичных дробей всегда будет конечной десятичной дробью. Это происходит потому, что любую конечную десятичную дробь можно записать как обыкновенную дробь со знаменателем в виде степени 10. При сложении таких дробей результат также будет иметь в знаменателе степень 10, что гарантирует конечную десятичную запись. Например, $0,3 + 1,12 = 1,42$. Таким образом, в этом случае результат всегда будет конечной десятичной дробью.

б) при сложении обыкновенных и десятичных дробей; Ответ: В этом случае результат не всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби. Если обыкновенная дробь является несократимой и её знаменатель содержит простые множители, отличные от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то при сложении с конечной десятичной дробью результат, как правило, будет бесконечной периодической дробью.
Рассмотрим пример: сложим $1,2$ и $\frac{1}{3}$.
$1,2 + \frac{1}{3} = \frac{12}{10} + \frac{1}{3} = \frac{6}{5} + \frac{1}{3} = \frac{18}{15} + \frac{5}{15} = \frac{23}{15} = 1\frac{8}{15}$
В десятичной записи это $1,5333...$ или $1,5(3)$, что является бесконечной дробью. Целая часть: 1.

в) при вычитании десятичных дробей; Ответ: Разность двух конечных десятичных дробей всегда является конечной десятичной дробью. Логика та же, что и при сложении: операция производится с дробями, знаменатели которых являются степенями 10, поэтому и результат будет иметь знаменатель в виде степени 10. Например, $2,55 - 0,4 = 2,15$. Таким образом, в этом случае результат всегда будет конечной десятичной дробью.

г) при вычитании обыкновенных и десятичных дробей? Ответ: Как и в случае со сложением, результат не всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби. Если обыкновенная дробь непредставима в виде конечной десятичной, то и разность с конечной десятичной дробью, скорее всего, будет бесконечной периодической дробью.
Рассмотрим пример: вычтем из $2,5$ дробь $\frac{2}{3}$.
$2,5 - \frac{2}{3} = \frac{5}{2} - \frac{2}{3} = \frac{15}{6} - \frac{4}{6} = \frac{11}{6} = 1\frac{5}{6}$
В десятичной записи это $1,8333...$ или $1,8(3)$, что является бесконечной дробью. Целая часть: 1.

Следовательно, не всегда можно получить результат в виде конечной десятичной дроби при сложении и вычитании обыкновенных и десятичных дробей, то есть в случаях б) и г).