Номер 1, страница 70 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

1. Все учащиеся шестого класса занимаются либо в танцевальном кружке, либо в вокальном (рис. 1). В танцевальном кружке занимаются 20 человек, а в вокальном — 18. 10 человек занимаются и танцами, и пением. Сколько всего учащихся в классе?

Рис. 1

1. Для решения этой задачи нужно найти общее количество учеников в классе. По условию, каждый ученик занимается либо в танцевальном, либо в вокальном кружке, или в обоих сразу. Это задача на нахождение количества элементов в объединении двух множеств.

Введем обозначения:

• Пусть $Т$ — множество учеников, занимающихся в танцевальном кружке. По условию, количество таких учеников $|Т| = 20$.
• Пусть $П$ — множество учеников, занимающихся в вокальном (пение) кружке. По условию, их количество $|П| = 18$.
• Пересечение множеств $Т \cap П$ — это ученики, которые занимаются и танцами, и пением. По условию, их количество $|Т \cap П| = 10$.

Общее количество учеников в классе — это количество элементов в объединении множеств $Т \cup П$. Чтобы найти это значение, можно использовать формулу включений-исключений:

$|Т \cup П| = |Т| + |П| - |Т \cap П|$

Эта формула нужна потому, что при простом сложении $|Т| + |П|$ ученики, состоящие в обоих кружках, учитываются дважды, поэтому их количество необходимо вычесть один раз для получения верного результата.

Подставим значения из условия в формулу:

$|Т \cup П| = 20 + 18 - 10 = 38 - 10 = 28$

Альтернативный способ решения (по частям, в соответствии с диаграммой):

1. Найдём, сколько учеников занимается только танцами (на диаграмме это правая часть, обозначенная буквой Т):
   Для этого из всех, кто ходит на танцы, вычтем тех, кто ходит еще и на пение.
   $20 - 10 = 10$ учеников.
2. Найдём, сколько учеников занимается только пением (на диаграмме это левая часть, обозначенная буквой П):
   Для этого из всех, кто ходит на пение, вычтем тех, кто ходит еще и на танцы.
   $18 - 10 = 8$ учеников.
3. Общее число учеников в классе — это сумма учеников из всех непересекающихся групп: тех, кто занимается только танцами, только пением, и тех, кто занимается и тем, и другим (центральная область ПТ):
   $10 (\text{только танцы}) + 8 (\text{только пение}) + 10 (\text{оба кружка}) = 28$ учеников.

Оба способа приводят к одному и тому же результату: в классе 28 учеников.

Ответ: 28