Номер 4, страница 70 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Множество $A$ состоит из 80 элементов, множество $B$ — из 120 элементов, а множество $A \cap B$ — из 40 элементов (рис. 3). Используя модель условия задачи, с помощью кругов Эйлера найдите:

а) сколько элементов принадлежит множеству $A$, но не принадлежит множеству $B$;

$A - 80$

$B - 120$

?

40

?

Рис. 3

б) сколько элементов принадлежит множеству $B$, но не принадлежит множеству $A$;

в) сколько элементов принадлежит множеству $A \cup B$.

В задаче даны мощности (количества элементов) трех множеств:

• мощность множества A: $|A| = 80$
• мощность множества B: $|B| = 120$
• мощность пересечения множеств A и B (элементы, принадлежащие обоим множествам): $|A \cap B| = 40$

На основе этих данных решим поставленные вопросы.

Чтобы найти количество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству B, необходимо из общего числа элементов множества А вычесть число элементов, которые являются общими для обоих множеств (т.е. находятся в их пересечении). Эта операция соответствует нахождению мощности разности множеств $A \setminus B$.

Вычисление: $|A \setminus B| = |A| - |A \cap B| = 80 - 40 = 40$.

Аналогично пункту а), чтобы найти количество элементов, принадлежащих множеству B, но не множеству A, нужно из общего числа элементов множества B вычесть число элементов из их пересечения. Это мощность разности множеств $B \setminus A$.

Вычисление: $|B \setminus A| = |B| - |A \cap B| = 120 - 40 = 80$.

Количество элементов в объединении множеств A и B ($|A \cup B|$) можно найти по формуле включений-исключений. Согласно этой формуле, нужно сложить мощности обоих множеств и вычесть мощность их пересечения (чтобы не учитывать общие элементы дважды).

Формула: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

Вычисление: $80 + 120 - 40 = 200 - 40 = 160$.

Также можно получить результат, сложив мощности трех непересекающихся частей на диаграмме Эйлера: (элементы только в А) + (элементы только в В) + (элементы в А и В). Используя результаты из пунктов а) и б), получаем: $40 + 80 + 40 = 160$.