Номер 3, страница 70 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. В группе туристов $28$ человек владеют английским языком, $20$ — французским, $22$ — немецким, $10$ человек знают французский и немецкий языки, $11$ человек — английский и немецкий, $6$ человек — французский и английский. $4$ человека знают все три языка (рис. $2$). Сколько туристов в группе?

Рис. $2$

Для нахождения общего количества туристов в группе необходимо вычислить общее число людей, владеющих хотя бы одним из трех языков (английским, французским или немецким). Эта задача решается с помощью принципа включений-исключений для трех множеств.

Введем обозначения для множеств туристов:

• $А$ — множество туристов, владеющих английским языком.
• $Ф$ — множество туристов, владеющих французским языком.
• $Н$ — множество туристов, владеющих немецким языком.

Согласно условию задачи, нам известны следующие размеры (мощности) этих множеств и их пересечений:

• $|А| = 28$
• $|Ф| = 20$
• $|Н| = 22$
• $|Ф \cap Н| = 10$ (знают французский и немецкий)
• $|А \cap Н| = 11$ (знают английский и немецкий)
• $|А \cap Ф| = 6$ (знают французский и английский)
• $|А \cap Ф \cap Н| = 4$ (знают все три языка)

Сколько туристов в группе?

Общее количество туристов в группе ($N$) — это размер объединения трех множеств: $N = |А \cup Ф \cup Н|$. Для его нахождения применяется формула включений-исключений:

$N = |А| + |Ф| + |Н| - (|А \cap Ф| + |А \cap Н| + |Ф \cap Н|) + |А \cap Ф \cap Н|$

Подставим числовые значения из условия в эту формулу:

$N = 28 + 20 + 22 - (6 + 11 + 10) + 4$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сумма туристов по каждому языку: $28 + 20 + 22 = 70$.

2. Сумма туристов, знающих пары языков: $6 + 11 + 10 = 27$.

3. Применим формулу: $N = 70 - 27 + 4$.

$N = 43 + 4 = 47$.

Таким образом, общее количество туристов в группе составляет 47 человек. Важно отметить, что диаграмма на рисунке 2 является иллюстрацией, но числа на ней расставлены некорректно и не соответствуют текстовому условию задачи (например, число 28 на диаграмме помещено в область "только английский", тогда как по тексту это общее число владеющих английским).

Ответ: 47