Номер 49, страница 208 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

49. Из точки $O$ плоскости проведены четыре луча: $OA, OB, OC$ и $OD$. Градусные меры пяти из образованных ими углов известны (но неизвестно, каких именно углов). Можно ли однозначно определить градусные меры остальных углов? (Под углом между лучами понимается тот из образованных ими углов, который не более $180^\circ$.)

Нет, однозначно определить градусные меры остальных углов нельзя.

Рассмотрим, как образуются углы. Четыре луча OA, OB, OC, OD, выходящие из одной точки O, образуют 6 углов, по одному для каждой пары лучей. Обозначим эти углы как $\angle AOB, \angle AOC, \angle AOD, \angle BOC, \angle BOD, \angle COD$. По условию, под углом между лучами понимается тот, который не превышает $180^\circ$.

Расположение лучей можно свести к двум основным случаям:

1. Выпуклый случай: Лучи делят плоскость на четыре сектора. Обозначим четыре "элементарных" угла между соседними лучами как $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $. Их сумма составляет $ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $. Чтобы все 6 углов были не более $180^\circ$, необходимо, чтобы и все элементарные углы были не более $180^\circ$.
2. Невыпуклый случай: Один из лучей (например, OD) находится внутри угла, образованного двумя другими (например, $\angle AOC$). В этом случае углы также можно описать через 4 элементарных угла, сумма которых равна $360^\circ$.

Ключевым свойством в обоих случаях является то, что среди шести значений углов всегда можно найти четыре "элементарных" угла, сумма которых равна $360^\circ$. Два оставшихся угла являются "составными" и равны суммам пар соседних элементарных углов.

Проблема заключается в том, что, зная пять из шести значений углов, мы не можем однозначно восстановить всю конфигурацию, так как неизвестен циклический порядок элементарных углов.

Приведем контрпример, который показывает неоднозначность.

Предположим, что нам известны пять углов: $ \{60^\circ, 70^\circ, 80^\circ, 130^\circ, 150^\circ\} $. Попробуем найти шестой угол.

Мы можем выдвинуть гипотезу, что четыре элементарных угла находятся среди известных пяти. Попробуем найти среди них четыре, которые в сумме дают $360^\circ$. Такая четверка есть: $60^\circ + 70^\circ + 80^\circ + 150^\circ = 360^\circ$.

Это означает, что элементарные углы равны $60^\circ, 70^\circ, 80^\circ, 150^\circ$, а один из составных углов равен $130^\circ$. Действительно, $60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$. Это говорит о том, что углы $60^\circ$ и $70^\circ$ являются соседними.

Теперь рассмотрим возможные конфигурации, чтобы найти шестой, неизвестный угол.

Случай 1:
Пусть элементарные углы расположены в циклическом порядке $(60^\circ, 70^\circ, 80^\circ, 150^\circ)$.

• Первый составной угол: $\angle_1 = \min(60^\circ+70^\circ, 80^\circ+150^\circ) = \min(130^\circ, 230^\circ) = 130^\circ$. Этот угол совпадает с известным пятым углом.
• Второй составной угол (наш неизвестный): $\angle_2 = \min(70^\circ+80^\circ, 60^\circ+150^\circ) = \min(150^\circ, 210^\circ) = 150^\circ$.

В этом случае полный набор шести углов: $\{60^\circ, 70^\circ, 80^\circ, 150^\circ, 130^\circ, 150^\circ\}$. Недостающим углом был $150^\circ$.

Случай 2:
Мы знаем, что углы $60^\circ$ и $70^\circ$ соседние, но порядок остальных двух ($80^\circ$ и $150^\circ$) может быть другим. Пусть элементарные углы расположены в порядке $(60^\circ, 70^\circ, 150^\circ, 80^\circ)$.

• Первый составной угол: $\angle_1 = \min(60^\circ+70^\circ, 150^\circ+80^\circ) = \min(130^\circ, 230^\circ) = 130^\circ$. Этот угол также совпадает с известным.
• Второй составной угол (наш неизвестный): $\angle_2 = \min(70^\circ+150^\circ, 60^\circ+80^\circ) = \min(220^\circ, 140^\circ) = 140^\circ$.

В этом случае полный набор шести углов: $\{60^\circ, 70^\circ, 80^\circ, 150^\circ, 130^\circ, 140^\circ\}$. Недостающим углом был $140^\circ$.

Таким образом, для одного и того же набора из пяти известных углов $\{60^\circ, 70^\circ, 80^\circ, 130^\circ, 150^\circ\}$ шестой угол может быть как $150^\circ$, так и $140^\circ$. Так как существуют как минимум две возможные и различные величины для шестого угла, определить его однозначно нельзя.

Ответ: Нет, однозначно определить градусные меры остальных углов нельзя.