Номер 44, страница 207 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

44. Володя и Андрей вместе весят $40 \, \text{кг}$, Володя и Гена — $50 \, \text{кг}$, Гена и Вася — $90 \, \text{кг}$, Вася и Дима — $100 \, \text{кг}$, Дима и Андрей — $60 \, \text{кг}$. Сколько килограммов весит каждый из мальчиков?

Для решения задачи обозначим вес каждого мальчика первой буквой его имени: В — вес Володи, А — вес Андрея, Г — вес Гены, Вс — вес Васи, Д — вес Димы.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:

1. $В + А = 40$
2. $В + Г = 50$
3. $Г + Вс = 90$
4. $Вс + Д = 100$
5. $Д + А = 60$

Чтобы найти общий вес всех мальчиков, сложим все пять уравнений. Заметим, что в итоговой сумме вес каждого мальчика будет учтен дважды:

$(В + А) + (В + Г) + (Г + Вс) + (Вс + Д) + (Д + А) = 40 + 50 + 90 + 100 + 60$

Вынеся общий множитель 2 за скобки, получим:

$2 \cdot (В + А + Г + Вс + Д) = 340$

Разделив обе части уравнения на 2, найдем суммарный вес всех пятерых мальчиков:

$В + А + Г + Вс + Д = 170$ кг.

Теперь, зная общий вес, мы можем последовательно найти вес каждого мальчика.

Володя
Чтобы найти вес Володи (В), вычтем из общего веса (170 кг) суммарный вес двух пар: (Андрей + Дима) и (Гена + Вася). Их вес нам известен из уравнений (5) и (3):
$В = 170 - (А + Д) - (Г + Вс)$
$В = 170 - 60 - 90 = 20$ кг.
Ответ: 20 кг.

Андрей
Зная, что вес Володи 20 кг, из первого уравнения ($В + А = 40$) находим вес Андрея:
$А = 40 - В = 40 - 20 = 20$ кг.
Ответ: 20 кг.

Гена
Зная вес Володи (20 кг), из второго уравнения ($В + Г = 50$) находим вес Гены:
$Г = 50 - В = 50 - 20 = 30$ кг.
Ответ: 30 кг.

Вася
Зная вес Гены (30 кг), из третьего уравнения ($Г + Вс = 90$) находим вес Васи:
$Вс = 90 - Г = 90 - 30 = 60$ кг.
Ответ: 60 кг.

Дима
Зная вес Васи (60 кг), из четвертого уравнения ($Вс + Д = 100$) находим вес Димы:
$Д = 100 - Вс = 100 - 60 = 40$ кг.
Ответ: 40 кг.

Для проверки убедимся, что найденные значения веса Димы (40 кг) и Андрея (20 кг) удовлетворяют пятому уравнению, которое не использовалось в нашей цепочке вычислений:
$Д + А = 40 + 20 = 60$ кг.
Это соответствует условию задачи, значит, все веса найдены верно.