Номер 41, страница 207 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

41. Может ли число $x^2 + y^2 + z^2$ делиться на 5, если ни одно из натуральных чисел $x, y, z$ не делится на 5?

Для решения этой задачи воспользуемся теорией сравнений по модулю. Нам нужно определить, может ли выражение $x^2 + y^2 + z^2$ делиться на 5, то есть может ли его остаток от деления на 5 быть равен 0.

По условию, натуральные числа $x, y, z$ не делятся на 5. Это означает, что их остаток от деления на 5 не равен 0. Следовательно, возможные остатки от деления этих чисел на 5 — это 1, 2, 3 или 4.

Рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты этих чисел при делении на 5. Пусть $n$ — одно из чисел $x, y, z$.

• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 1 ($n \equiv 1 \pmod{5}$), то его квадрат $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$.
• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 2 ($n \equiv 2 \pmod{5}$), то его квадрат $n^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 3 ($n \equiv 3 \pmod{5}$), то его квадрат $n^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n$ при делении на 5 дает остаток 4 ($n \equiv 4 \pmod{5}$), то его квадрат $n^2 \equiv 4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа, не делящегося на 5, при делении на 5 может давать в остатке только 1 или 4.

Теперь рассмотрим сумму $x^2 + y^2 + z^2$. Каждое из слагаемых ($x^2, y^2, z^2$) может иметь остаток 1 или 4 при делении на 5. Проверим все возможные комбинации остатков для суммы:

1. Все три слагаемых дают остаток 1: $1 + 1 + 1 = 3$. Остаток суммы от деления на 5 равен 3.
2. Два слагаемых дают остаток 1, а одно — 4: $1 + 1 + 4 = 6$. Остаток суммы от деления на 5 равен 1.
3. Одно слагаемое дает остаток 1, а два — 4: $1 + 4 + 4 = 9$. Остаток суммы от деления на 5 равен 4.
4. Все три слагаемых дают остаток 4: $4 + 4 + 4 = 12$. Остаток суммы от деления на 5 равен 2.

Как видно из всех возможных случаев, сумма $x^2 + y^2 + z^2$ при делении на 5 может давать в остатке 1, 2, 3 или 4. Ни в одном из случаев остаток не равен 0.

Это означает, что число $x^2 + y^2 + z^2$ никогда не делится нацело на 5, если ни одно из чисел $x, y, z$ не делится на 5.

Ответ: Нет, не может.