Номер 34, страница 205 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

34. Имеется 26 коробок конфет трёх сортов, причём в каждой коробке конфеты одного сорта. Докажите, что среди них обязательно есть 9 коробок конфет одного сорта.

Для доказательства данного утверждения используется обобщенный принцип Дирихле. В контексте этой задачи «объектами» являются 26 коробок конфет, а «категориями» — 3 сорта конфет.

Способ 1: Доказательство от противного.

Предположим, что утверждение неверно. То есть, не существует сорта конфет, которого было бы 9 или более коробок. Это значит, что коробок каждого из трёх сортов имеется не более 8.

В таком случае, максимальное общее количество коробок, которое мы могли бы иметь, составляет:
$3 \text{ (сорта)} \times 8 \text{ (коробок)} = 24 \text{ (коробки)}$

Однако по условию задачи у нас имеется 26 коробок конфет. Мы получаем противоречие, так как 24 меньше 26 ($24 < 26$).

Следовательно, наше первоначальное предположение было ложным, и обязательно найдётся сорт конфет, которого будет как минимум 9 коробок.

Способ 2: Прямое применение принципа Дирихле.

Разделим общее количество коробок на количество сортов, чтобы найти среднее количество коробок на один сорт:
$\frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$

Поскольку количество коробок может быть только целым числом, а среднее значение больше 8, то по крайней мере для одного сорта количество коробок должно быть не меньше, чем следующее за 8 целое число, то есть 9.

Ответ: Утверждение доказано. Если разделить 26 коробок на 3 сорта, получится неправильная дробь $\frac{26}{3}$. Целая часть этой дроби равна 8. Поскольку $3 \times 8 = 24$, а всего коробок 26, то оставшиеся $26-24=2$ коробки также должны быть отнесены к какому-либо из сортов. Это неизбежно приведет к тому, что по крайней мере один из сортов будет иметь больше 8 коробок, то есть как минимум 9.