Номер 33, страница 205 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

33. В хвойном лесу растут 600 000 елей. На каждой ели — не более 5 500 000 иголок. Докажите, что существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков).

Принцип Дирихле гласит: если $N$ предметов нужно разложить в $M$ ящиков, и количество предметов $N$ больше количества ящиков $M$ ($N > M$), то по крайней мере в одном ящике окажется более одного предмета.

Применим этот принцип к условиям задачи:

• "Предметы" (или "голуби" в классической формулировке) — это ели, растущие в лесу. Их количество, $N$, равно $6\,000\,000$.
• "Ящики" (или "клетки") — это все возможные варианты количества иголок, которое может быть на одной ели.

Согласно условию, на каждой ели растет "не более $5\,500\,000$ иголок". Это означает, что количество иголок на любой конкретной ели может быть любым целым числом от $0$ (например, для очень молодого саженца) до $5\,500\,000$ включительно.

Теперь определим общее количество "ящиков", то есть, сколько всего существует различных вариантов числа иголок. Возможные значения — это $0, 1, 2, \dots, 5\,500\,000$.

Общее количество таких вариантов, $M$, составляет:

$M = 5\,500\,000 - 0 + 1 = 5\,500\,001$

Теперь необходимо сравнить количество елей ($N$) с количеством возможных вариантов числа иголок ($M$):

• Количество елей: $N = 6\,000\,000$.
• Количество вариантов числа иголок: $M = 5\,500\,001$.

Сравнивая эти два числа, мы видим, что количество "предметов" (елей) больше количества "ящиков" (вариантов числа иголок):

$6\,000\,000 > 5\,500\,001$

Поскольку $N > M$, по принципу Дирихле, мы можем утверждать, что как минимум двум разным "предметам" (елям) должен соответствовать один и тот же "ящик" (одинаковое количество иголок).

Таким образом, доказано, что в хвойном лесу обязательно существуют хотя бы две ели с одинаковым числом иголок. Что и требовалось доказать.