Номер 37, страница 206 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

37. Два натуральных числа в сумме дают 2021. Вася увеличил каждое из них на 50 и перемножил полученные числа. Он получил, что произведение также оканчивается на 2021. Докажите, что Вася ошибся.

Для доказательства того, что Вася ошибся, воспользуемся свойствами четности чисел.

1. Анализ исходных данных.

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Согласно условию задачи, их сумма равна 2021:

$$a + b = 2021$$

Сумма $a + b$ является нечетным числом. Сумма двух натуральных чисел нечетна только в том случае, если одно из слагаемых является четным числом, а другое — нечетным.

2. Анализ действий Васи.

Вася увеличил каждое из чисел на 50, получив два новых числа: $(a + 50)$ и $(b + 50)$.

Рассмотрим четность этих новых чисел:

• Число 50 — четное.
• Если $a$ — четное, а $b$ — нечетное, то:
  • $(a + 50)$ — это сумма двух четных чисел, результат будет четным.
  • $(b + 50)$ — это сумма нечетного и четного чисел, результат будет нечетным.

Таким образом, одно из новых чисел, полученных Васей, является четным, а другое — нечетным.

3. Анализ произведения.

Далее Вася перемножил эти два числа. Произведение четного и нечетного чисел всегда является четным числом. Следовательно, результат, который должен был получить Вася, — это четное число.

4. Поиск противоречия.

По условию, Вася получил число, которое оканчивается на 2021. Любое число, оканчивающееся на 2021, имеет последнюю цифру 1. Числа, последняя цифра которых 1, являются нечетными.

Таким образом, мы приходим к противоречию:

• Исходя из свойств исходных чисел, результат произведения $(a + 50)(b + 50)$ должен быть четным.
• Исходя из утверждения Васи, его результат является нечетным.

Число не может быть одновременно и четным, и нечетным. Это означает, что результат, полученный Васей, невозможен.

Вывод: Вася ошибся, что и требовалось доказать.