Номер 40, страница 206 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

40. На математической олимпиаде среди учащихся 6-х классов первые четыре места разделили Антон, Павел, Анна и Алла. Сумма мест, занятых Антоном, Павлом и Аллой, равна 6. Сумма мест Павла и Анны тоже 6. За первые три места дети получили грамоты, а за четвёртое место — подарок. Кто занял первое место, если известно, что из юношей лучшим был Павел?

Для решения задачи обозначим места, занятые каждым из участников, переменными:

• $А$ — место Антона
• $П$ — место Павла
• $Н$ — место Анны
• $Л$ — место Аллы

По условию, участники разделили первые четыре места, то есть их места — это числа 1, 2, 3, 4 в некотором порядке. Сумма всех занятых мест равна $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Запишем условия задачи в виде системы уравнений и неравенства:

1. Сумма мест Антона, Павла и Аллы равна 6: $А + П + Л = 6$.
2. Сумма мест Павла и Анны тоже равна 6: $П + Н = 6$.
3. Из юношей лучшим был Павел, значит, его место выше (числовое значение меньше), чем у Антона: $П < А$.

Решим задачу по шагам:

Шаг 1. Находим место Анны.
Сумма мест всех четырех участников равна 10: $А + П + Н + Л = 10$. Мы можем перегруппировать слагаемые, чтобы использовать первое условие: $(А + П + Л) + Н = 10$. Подставим известную сумму из условия (1):$6 + Н = 10$. Отсюда находим место Анны: $Н = 10 - 6 = 4$. Итак, Анна заняла 4-е место.

Шаг 2. Находим место Павла.
Теперь используем второе условие: $П + Н = 6$. Подставим найденное место Анны ($Н=4$):$П + 4 = 6$. Отсюда находим место Павла: $П = 6 - 4 = 2$. Таким образом, Павел занял 2-е место.

Шаг 3. Находим места Антона и Аллы.
Вернемся к первому условию: $А + П + Л = 6$. Подставим известное место Павла ($П=2$):$А + 2 + Л = 6$. Отсюда получаем сумму мест Антона и Аллы: $А + Л = 4$. На данный момент остались нераспределенными 1-е и 3-е места. Их сумма как раз равна $1 + 3 = 4$, что соответствует нашему уравнению. Значит, Антон и Алла заняли 1-е и 3-е места.

Шаг 4. Определяем, кто занял первое место.
Используем последнее, третье условие: $П < А$. Поскольку Павел занял 2-е место ($П=2$), то неравенство принимает вид: $2 < А$. Из двух возможных мест для Антона (1-е или 3-е) этому неравенству удовлетворяет только 3-е место. Следовательно, Антон занял 3-е место ($А=3$). Методом исключения, оставшееся 1-е место занимает Алла.

Итоговое распределение мест: Алла — 1-е место, Павел — 2-е место, Антон — 3-е место, Анна — 4-е место.