Номер 45, страница 207 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

45. Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 7 дней при условии, что второй рабочий приступит к ней на 2 дня позже первого. Если бы ту же работу каждый выполнял в одиночку, то первому понадобилась бы на 4 дня больше, чем второму. За сколько дней первый рабочий мог бы выполнить эту работу, если известно, что число дней, необходимых каждому из них, целое?

Для решения задачи введем переменные. Пусть вся работа равна 1.

• Пусть $t_1$ – количество дней, за которое первый рабочий выполнит всю работу, работая в одиночку.
• Пусть $t_2$ – количество дней, за которое второй рабочий выполнит всю работу, работая в одиночку.

Тогда их производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет:

• Производительность первого рабочего: $p_1 = \frac{1}{t_1}$
• Производительность второго рабочего: $p_2 = \frac{1}{t_2}$

На основе условий задачи составим систему уравнений.

1. Первое условие: "Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 7 дней при условии, что второй рабочий приступит к ней на 2 дня позже первого."

Из этого условия следует, что первый рабочий работал 7 дней, а второй рабочий, начав на 2 дня позже, работал $7 - 2 = 5$ дней. Совместно они выполнили всю работу.

Уравнение будет выглядеть так:

$(Работа\;первого) + (Работа\;второго) = 1$

$7 \cdot p_1 + 5 \cdot p_2 = 1$

Подставляя выражения для производительности, получаем первое уравнение системы:

$\frac{7}{t_1} + \frac{5}{t_2} = 1$

2. Второе условие: "Если бы ту же работу каждый выполнял в одиночку, то первому понадобилась бы на 4 дня больше, чем второму."

Это условие дает нам прямое соотношение между $t_1$ и $t_2$:

$t_1 = t_2 + 4$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными ($t_1$ и $t_2$):

$$ \begin{cases} \frac{7}{t_1} + \frac{5}{t_2} = 1 \\ t_1 = t_2 + 4 \end{cases} $$

Подставим второе уравнение ($t_1 = t_2 + 4$) в первое, чтобы получить уравнение с одной переменной $t_2$:

$\frac{7}{t_2 + 4} + \frac{5}{t_2} = 1$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $t_2(t_2 + 4)$, чтобы избавиться от дробей. Учитывая, что $t_2 > 0$ (время не может быть нулевым или отрицательным), это преобразование является равносильным.

$7t_2 + 5(t_2 + 4) = t_2(t_2 + 4)$

Раскроем скобки:

$7t_2 + 5t_2 + 20 = t_2^2 + 4t_2$

$12t_2 + 20 = t_2^2 + 4t_2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$t_2^2 + 4t_2 - 12t_2 - 20 = 0$

$t_2^2 - 8t_2 - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$

Найдем корни уравнения:

$t_2 = \frac{-(-8) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 12}{2}$

Получаем два решения для $t_2$:

• $t_{2,1} = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$
• $t_{2,2} = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как $t_2$ обозначает количество дней, оно не может быть отрицательным. Значит, нам подходит только корень $t_2 = 10$. Это соответствует условию, что число дней — целое.

Теперь найдем, сколько дней понадобится первому рабочему ($t_1$), используя второе уравнение системы:

$t_1 = t_2 + 4 = 10 + 4 = 14$

Таким образом, первому рабочему потребовалось бы 14 дней на выполнение всей работы в одиночку. Это число также целое.

За сколько дней первый рабочий мог бы выполнить эту работу, если известно, что число дней, необходимых каждому из них, целое? Ответ: 14