Номер 113, страница 194 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

113. Даны координаты двух вершин квадрата

ABCD: $A(-1; -1,5)$ и $B(-1; 2)$.

a) Начертите квадрат ABCD.

б) Определите координаты вершин C и D.

Для решения данной задачи сначала найдем длину стороны квадрата, а затем, основываясь на ней, определим координаты недостающих вершин.

1. Анализ координат и нахождение длины стороны

Даны координаты двух вершин: $A(-1; -1,5)$ и $B(-1; 2)$.

Обратим внимание, что у обеих точек одинаковая абсцисса (координата x), равная -1. Это означает, что отрезок $AB$ является вертикальным, то есть параллельным оси $Oy$. Этот отрезок является стороной квадрата.

Длину стороны квадрата найдем как расстояние между точками $A$ и $B$. Для вертикального отрезка расстояние равно модулю разности их ординат (координат y):

Длина стороны $= |y_B - y_A| = |2 - (-1,5)| = |2 + 1,5| = 3,5$.

Таким образом, сторона квадрата $ABCD$ равна 3,5.

2. Нахождение координат вершин C и D

Поскольку $ABCD$ — это квадрат, его смежные стороны перпендикулярны. Так как сторона $AB$ вертикальна, то стороны $BC$ и $AD$ должны быть горизонтальны (параллельны оси $Ox$) и иметь ту же длину, 3,5.

Для построения квадрата существует два возможных случая: он может быть расположен справа или слева от стороны $AB$.

Случай 1: Квадрат расположен справа от стороны $AB$.

• Вершина $C$ должна иметь ту же ординату, что и $B$, а ее абсцисса будет на 3,5 больше, чем у $B$:
  $x_C = x_B + 3,5 = -1 + 3,5 = 2,5$
  $y_C = y_B = 2$
  Получаем координаты: $C(2,5; 2)$.
• Вершина $D$ должна иметь ту же ординату, что и $A$, а ее абсцисса будет на 3,5 больше, чем у $A$:
  $x_D = x_A + 3,5 = -1 + 3,5 = 2,5$
  $y_D = y_A = -1,5$
  Получаем координаты: $D(2,5; -1,5)$.

Случай 2: Квадрат расположен слева от стороны $AB$.

• Вершина $C$ будет иметь ту же ординату, что и $B$, а ее абсцисса будет на 3,5 меньше, чем у $B$:
  $x_C = x_B - 3,5 = -1 - 3,5 = -4,5$
  $y_C = y_B = 2$
  Получаем координаты: $C(-4,5; 2)$.
• Вершина $D$ будет иметь ту же ординату, что и $A$, а ее абсцисса будет на 3,5 меньше, чем у $A$:
  $x_D = x_A - 3,5 = -1 - 3,5 = -4,5$
  $y_D = y_A = -1,5$
  Получаем координаты: $D(-4,5; -1,5)$.

Теперь дадим ответы на поставленные вопросы.

а) Начертите квадрат ABCD.

Ответ:Для построения квадрата $ABCD$ на координатной плоскости необходимо:

1. Отметить точки $A(-1; -1,5)$ и $B(-1; 2)$.
2. Соединить их, получив вертикальную сторону $AB$.
3. Далее выбрать один из двух вариантов:
   • Вариант 1: Построить горизонтальные отрезки $BC$ и $AD$ длиной 3,5 вправо. Отметить точки $C(2,5; 2)$ и $D(2,5; -1,5)$ и соединить их, завершив построение квадрата.
   • Вариант 2: Построить горизонтальные отрезки $BC$ и $AD$ длиной 3,5 влево. Отметить точки $C(-4,5; 2)$ и $D(-4,5; -1,5)$ и соединить их.

б) Определите координаты вершин C и D.

Ответ:Так как квадрат можно построить по обе стороны от отрезка $AB$, задача имеет два возможных решения для координат вершин $C$ и $D$.

• Решение 1: $C(2,5; 2)$ и $D(2,5; -1,5)$.
• Решение 2: $C(-4,5; 2)$ и $D(-4,5; -1,5)$.