Номер 1, страница 116, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

1. Петя может покрасить забор за 8 ч, а Миша — за 10 ч. Успеют ли они покрасить весь забор до тренировки, которая начнётся через 5 ч?

Применяем математику

1.

Петя – за 8 часов;

Миша – за 10 часов;

Успеют ли вместе за 5 часов - ?.

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }1 : 8 = \frac{1}{8}$(часть)-покрасит Петя за 1 ч;

$\mathbf{2}\mathbf{)} 1 : 10 = \frac{1}{10}$ (часть)-покрасит Миша за 1 ч;

$\mathbf{3}\mathbf{)} {\frac{1}{8}}^{\overline{)·5}} + {\frac{1}{10}}^{\overline{)·4}} = \frac{5}{40} + \frac{4}{40} = \frac{9}{40}$(части)-покрасят вместе за 1 ч;

$\mathbf{4}\mathbf{)} 1 : \frac{9}{40} = 1 · \frac{40}{9} = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$ (ч)-будут красить забор вместе за 5 ч;

$4\frac{4}{9} < 5$

Ответ: успеют.

1. Чтобы определить, успеют ли Петя и Миша покрасить забор, необходимо рассчитать время, которое им потребуется для совместной работы, и сравнить его с имеющимися 5 часами.

Сначала определим производительность каждого мальчика. Примем всю работу по покраске забора за единицу (1).

Петя красит весь забор за 8 часов, следовательно, его производительность (часть забора, которую он красит за 1 час) составляет $1/8$ работы в час.

Миша красит весь забор за 10 часов, его производительность составляет $1/10$ работы в час.

Теперь найдем их общую производительность при совместной работе, сложив их индивидуальные производительности:

$V_{общая} = \frac{1}{8} + \frac{1}{10}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 10 — это 40.

$\frac{1}{8} + \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 5}{40} + \frac{1 \cdot 4}{40} = \frac{5}{40} + \frac{4}{40} = \frac{9}{40}$

Таким образом, работая вместе, за один час они покрасят $9/40$ часть забора.

Теперь вычислим, сколько времени ($T$) им потребуется, чтобы покрасить весь забор (выполнить 1 работу). Для этого нужно разделить всю работу на их общую производительность:

$T = \frac{1}{V_{общая}} = \frac{1}{\frac{9}{40}} = 1 \cdot \frac{40}{9} = \frac{40}{9}$ часа.

Чтобы сравнить это время с 5 часами, представим дробь $\frac{40}{9}$ в виде смешанного числа:

$\frac{40}{9} = 4 \frac{4}{9}$ часа.

Теперь сравним полученное время с временем до тренировки:

$4 \frac{4}{9}$ часа < 5 часов.

Так как время, необходимое для совместной покраски забора, меньше времени, которое у них есть до тренировки, они успеют.

Ответ: да, успеют.