Номер 36.19, страница 180 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.19. Два пешехода вышли одновременно из одного поселка в другой. Скорость первого пешехода на $1 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ больше скорости второго, поэтому он прибыл в другой поселок на 0,5 ч раньше второго. С какими скоростями двигались пешеходы, если расстояние между поселками равно 15 км?

Пусть $x$ км/ч — скорость второго пешехода. Согласно условию, скорость первого пешехода на 1 км/ч больше, следовательно, его скорость составляет $(x + 1)$ км/ч.

Оба пешехода прошли расстояние $S = 15$ км.

Время, которое затратил на путь второй пешеход, можно выразить формулой $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{15}{x}$ ч.

Время, которое затратил на путь первый пешеход, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{15}{x+1}$ ч.

По условию задачи, первый пешеход прибыл в пункт назначения на 0,5 часа раньше второго. Это значит, что время второго пешехода было на 0,5 часа больше, чем время первого. На основании этого можно составить уравнение:

$t_2 - t_1 = 0,5$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{15}{x} - \frac{15}{x+1} = 0,5$

Для решения данного рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{15(x+1) - 15x}{x(x+1)} = 0,5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15x + 15 - 15x}{x^2 + x} = 0,5$

$\frac{15}{x^2 + x} = 0,5$

Умножим обе части уравнения на $(x^2 + x)$, при условии что $x \neq 0$ и $x \neq -1$, что выполняется, так как скорость является положительной величиной.

$15 = 0,5(x^2 + x)$

Разделим обе части на 0,5 (что эквивалентно умножению на 2):

$30 = x^2 + x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно $-30$, а их сумма равна $-1$. Подбором находим корни:

$x_1 = 5$

$x_2 = -6$

Так как $x$ представляет собой скорость пешехода, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -6$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость второго пешехода составляет $x = 5$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого пешехода:

$x + 1 = 5 + 1 = 6$ км/ч.

Ответ: скорость первого пешехода равна 6 км/ч, а скорость второго пешехода — 5 км/ч.