Номер 36.15, страница 180 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.15. Существует ли значение $x$, при котором сумма дробей равна 1:

а) $\frac{2x}{x-3}$ и $\frac{x-3}{2x}$;

б) $\frac{x}{x+3}$ и $\frac{x+3}{x}$?

а) Чтобы определить, существует ли значение $x$, при котором сумма данных дробей равна 1, необходимо составить и решить уравнение:

$\frac{2x}{x-3} + \frac{x-3}{2x} = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$2x \neq 0 \implies x \neq 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

Теперь решим уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю $2x(x-3)$:

$\frac{2x \cdot 2x}{2x(x-3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{2x(x-3)} = 1$

$\frac{4x^2 + (x^2 - 6x + 9)}{2x(x-3)} = 1$

Поскольку мы работаем в рамках ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на знаменатель $2x(x-3)$:

$4x^2 + x^2 - 6x + 9 = 2x(x-3)$

$5x^2 - 6x + 9 = 2x^2 - 6x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные:

$5x^2 - 2x^2 - 6x + 6x + 9 = 0$

$3x^2 + 9 = 0$

$3x^2 = -9$

$x^2 = -3$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: не существует.

б) Проведем аналогичные рассуждения для второй пары дробей. Составим уравнение:

$\frac{x}{x+3} + \frac{x+3}{x} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$x \neq 0$

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x+3)} + \frac{(x+3)(x+3)}{x(x+3)} = 1$

$\frac{x^2 + (x^2 + 6x + 9)}{x(x+3)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $x(x+3)$ (с учетом ОДЗ):

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = x(x+3)$

$2x^2 + 6x + 9 = x^2 + 3x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x^2 - x^2 + 6x - 3x + 9 = 0$

$x^2 + 3x + 9 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Для нахождения его корней вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: не существует.