Номер 36.11, страница 179 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.11. Найдите, при каком значении a сумма дробей равна -2:

a)

$ \frac{a+3}{a} $ и $ \frac{a}{a+3} $;

б)

$ \frac{2a+3}{7a} $ и $ \frac{7a}{2a+3} $.

а) Составим уравнение согласно условию задачи, приравняв сумму дробей к -2:

$\frac{a+3}{a} + \frac{a}{a+3} = -2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю: $a \neq 0$ и $a+3 \neq 0$, откуда $a \neq -3$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $a(a+3)$:

$\frac{(a+3)(a+3)}{a(a+3)} + \frac{a \cdot a}{a(a+3)} = -2$

$\frac{(a+3)^2 + a^2}{a(a+3)} = -2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 + 6a + 9 + a^2}{a(a+3)} = -2$

$\frac{2a^2 + 6a + 9}{a(a+3)} = -2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $a(a+3)$, учитывая ОДЗ, и решим полученное уравнение:

$2a^2 + 6a + 9 = -2a(a+3)$

$2a^2 + 6a + 9 = -2a^2 - 6a$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$2a^2 + 6a + 9 + 2a^2 + 6a = 0$

$4a^2 + 12a + 9 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$(2a + 3)^2 = 0$

Отсюда находим корень:

$2a + 3 = 0$

$2a = -3$

$a = -\frac{3}{2} = -1.5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($a \neq 0$ и $a \neq -3$). Значение $a = -1.5$ удовлетворяет этим условиям.

Ответ: $a = -1.5$.

б) Аналогично, составим уравнение, приравняв сумму дробей к -2:

$\frac{2a+3}{7a} + \frac{7a}{2a+3} = -2$

Определим ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $7a \neq 0 \implies a \neq 0$ и $2a+3 \neq 0 \implies a \neq -\frac{3}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $7a(2a+3)$:

$\frac{(2a+3)(2a+3)}{7a(2a+3)} + \frac{7a \cdot 7a}{7a(2a+3)} = -2$

$\frac{(2a+3)^2 + (7a)^2}{7a(2a+3)} = -2$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{4a^2 + 12a + 9 + 49a^2}{7a(2a+3)} = -2$

$\frac{53a^2 + 12a + 9}{7a(2a+3)} = -2$

Умножим обе части на знаменатель $7a(2a+3)$ с учетом ОДЗ:

$53a^2 + 12a + 9 = -2 \cdot 7a(2a+3)$

$53a^2 + 12a + 9 = -14a(2a+3)$

$53a^2 + 12a + 9 = -28a^2 - 42a$

Перенесем все члены в левую часть:

$53a^2 + 12a + 9 + 28a^2 + 42a = 0$

$81a^2 + 54a + 9 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 9:

$9a^2 + 6a + 1 = 0$

Это уравнение также является полным квадратом:

$(3a+1)^2 = 0$

Находим корень:

$3a+1 = 0$

$3a = -1$

$a = -\frac{1}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($a \neq 0$ и $a \neq -1.5$). Значение $a = -\frac{1}{3}$ удовлетворяет условиям.

Ответ: $a = -\frac{1}{3}$.