Номер 36.10, страница 179 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.10. Существует ли значение x, при котором:

a)$\frac{3x+2}{x-2} = \frac{3x+3}{x-1}$;

б)$\frac{3x-2}{x-3} = \frac{x-2}{-x-4}$?

а) Чтобы выяснить, существует ли такое значение $x$, решим уравнение:

$\frac{3x+2}{x-2} = \frac{3x+3}{x-1}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(3x+2)(x-1) = (3x+3)(x-2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - 6x + 3x - 6$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - x - 2 = 3x^2 - 3x - 6$

Вычтем $3x^2$ из обеих частей:

$-x - 2 = -3x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-x + 3x = -6 + 2$

$2x = -4$

Разделим обе части на 2:

$x = -2$

Полученное значение $x = -2$ не противоречит ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 1$). Следовательно, такое значение $x$ существует.

Ответ: да, существует, $x = -2$.

б) Решим уравнение, чтобы выяснить, существует ли такое значение $x$:

$\frac{3x-2}{x-3} = \frac{x-2}{-x-4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$-x - 4 \neq 0 \implies -x \neq 4 \implies x \neq -4$

Применим правило пропорции:

$(3x-2)(-x-4) = (x-2)(x-3)$

Раскроем скобки:

$-3x^2 - 12x + 2x + 8 = x^2 - 3x - 2x + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 - 10x + 8 = x^2 - 5x + 6$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = x^2 + 3x^2 - 5x + 10x + 6 - 8$

$0 = 4x^2 + 5x - 2$

Чтобы определить, существуют ли решения у этого квадратного уравнения, найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=4$, $b=5$, $c=-2$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 25 - (-32) = 25 + 32 = 57$

Так как дискриминант $D = 57 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Эти корни не входят в ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -4$). Следовательно, значения $x$, удовлетворяющие исходному равенству, существуют.

Ответ: да, существует.