Номер 36.3, страница 178 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.3. Верно ли, что уравнения $2x - 12 = 0$ и $\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 0$ равносильны?

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (или оба уравнения не имеют корней). Чтобы определить, являются ли данные уравнения равносильными, найдем корни каждого из них.

Решение первого уравнения

Рассмотрим уравнение $2x - 12 = 0$.

$2x = 12$

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Множество корней первого уравнения: $\{6\}$.

Решение второго уравнения

Рассмотрим уравнение $\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$x - 6 \neq 0$

$x \neq 6$

2. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 - 36 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(x - 6)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 6 = 0$ или $x + 6 = 0$

$x_1 = 6$ или $x_2 = -6$

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 6$).

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, множество корней второго уравнения: $\{-6\}$.

Вывод

Множество корней первого уравнения $\{6\}$ не совпадает с множеством корней второго уравнения $\{-6\}$. Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, уравнения не равносильны.