Номер 35.37, страница 177 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.37. Найдите множество значений функции:

а) $y = \frac{2}{x+9}$;

б) $y = \sqrt{(x+3)^2 + 16}$;

в) $y = \sqrt{-x^2 + 10x - 25}$.

а) $y = \frac{2}{x+9}$

Данная функция является гиперболой. Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
$x + 9 \neq 0 \implies x \neq -9$.
Чтобы найти множество значений функции (область значений), выразим переменную $x$ через $y$:
$y = \frac{2}{x+9}$
$y(x+9) = 2$
Из этого уравнения видно, что $y$ не может быть равен нулю, так как в противном случае мы получили бы неверное равенство $0 = 2$.
При $y \neq 0$ мы можем продолжить:
$x+9 = \frac{2}{y}$
$x = \frac{2}{y} - 9$
Это выражение определено для любого значения $y$, кроме $y=0$. Таким образом, функция может принимать любое действительное значение, кроме нуля.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) $y = \sqrt{(x+3)^2 + 16}$

Для нахождения множества значений этой функции проанализируем выражение под корнем: $(x+3)^2 + 16$.
Выражение $(x+3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается при $x = -3$.
Следовательно, наименьшее значение всего подкоренного выражения $(x+3)^2 + 16$ равно $0 + 16 = 16$.
Таким образом, подкоренное выражение принимает значения в промежутке $[16; +\infty)$.
Функция $f(t) = \sqrt{t}$ является возрастающей для $t \ge 0$. Поэтому наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении подкоренного выражения:
$y_{min} = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку подкоренное выражение может неограниченно возрастать, значение $y$ также может неограниченно возрастать.
Следовательно, множество значений функции — все числа, большие или равные 4.

Ответ: $[4; +\infty)$

в) $y = \sqrt{-x^2 + 10x - 25}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$-x^2 + 10x - 25 \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 10x + 25 \le 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности:
$(x-5)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-5)^2 \ge 0$. Единственный случай, когда выполняется неравенство $(x-5)^2 \le 0$, это когда $(x-5)^2 = 0$.
Это равенство верно только при $x - 5 = 0$, то есть при $x = 5$.
Таким образом, область определения функции состоит из единственного числа $x=5$.
Найдем значение функции в этой точке:
$y(5) = \sqrt{-(5)^2 + 10(5) - 25} = \sqrt{-25 + 50 - 25} = \sqrt{0} = 0$.
Поскольку функция определена только в одной точке, ее множество значений состоит из одного единственного числа.

Ответ: $\{0\}$