Номер 35.33, страница 176 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.33. С помощью преобразований графика функции $y = f(x)$ (рис. 31) постройте график функции:

a) $y = f(x - 3) - 2$;

б) $y = f(x + 1) + 3$.

Рис. 31

а) $y = f(x - 3) - 2$

Для построения графика функции $y = f(x - 3) - 2$ необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком исходной функции $y = f(x)$.

1. Преобразование аргумента $x$ в $(x-3)$ соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

2. Вычитание константы 2 из значения функции $f(x-3)$ соответствует сдвигу графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy).

Таким образом, для получения графика функции $y = f(x - 3) - 2$, необходимо сдвинуть весь исходный график на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Это соответствует параллельному переносу на вектор $(3, -2)$.

Чтобы точно построить новый график, найдем новые координаты для его характерных точек. На исходном графике $y=f(x)$ можно выделить следующие точки: локальные минимумы $(-3, -3)$ и $(4, -3)$, локальный максимум $(-1, 3)$, а также точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Применим к каждой точке $(x, y)$ преобразование, соответствующее сдвигу: $(x', y') = (x+3, y-2)$.

• Точка минимума $(-3, -3)$ переходит в точку $(-3+3, -3-2) = (0, -5)$.
• Точка пересечения $(-2, 0)$ переходит в точку $(-2+3, 0-2) = (1, -2)$.
• Точка максимума $(-1, 3)$ переходит в точку $(-1+3, 3-2) = (2, 1)$.
• Точка пересечения $(0, 0)$ переходит в точку $(0+3, 0-2) = (3, -2)$.
• Точка минимума $(4, -3)$ переходит в точку $(4+3, -3-2) = (7, -5)$.
• Точка пересечения $(6, 0)$ переходит в точку $(6+3, 0-2) = (9, -2)$.

Ответ: График функции $y = f(x - 3) - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = f(x)$ на 3 единицы вправо и 2 единицы вниз. Новый график будет иметь локальный максимум в точке $(2, 1)$ и локальные минимумы в точках $(0, -5)$ и $(7, -5)$.

б) $y = f(x + 1) + 3$

Для построения графика функции $y = f(x + 1) + 3$ также выполним два преобразования над графиком $y = f(x)$.

1. Преобразование аргумента $x$ в $(x+1)$ соответствует сдвигу графика функции на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (Ox).

2. Прибавление константы 3 к значению функции $f(x+1)$ соответствует сдвигу графика на 3 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

Следовательно, чтобы получить график функции $y = f(x + 1) + 3$, нужно сдвинуть исходный график $y = f(x)$ на 1 единицу влево и на 3 единицы вверх. Это соответствует параллельному переносу на вектор $(-1, 3)$.

Применим к тем же характерным точкам $(x, y)$ преобразование сдвига $(x', y') = (x-1, y+3)$:

• Точка минимума $(-3, -3)$ переходит в точку $(-3-1, -3+3) = (-4, 0)$.
• Точка пересечения $(-2, 0)$ переходит в точку $(-2-1, 0+3) = (-3, 3)$.
• Точка максимума $(-1, 3)$ переходит в точку $(-1-1, 3+3) = (-2, 6)$.
• Точка пересечения $(0, 0)$ переходит в точку $(0-1, 0+3) = (-1, 3)$.
• Точка минимума $(4, -3)$ переходит в точку $(4-1, -3+3) = (3, 0)$.
• Точка пересечения $(6, 0)$ переходит в точку $(6-1, 0+3) = (5, 3)$.

Ответ: График функции $y = f(x + 1) + 3$ получается путем сдвига графика функции $y = f(x)$ на 1 единицу влево и 3 единицы вверх. Новый график будет иметь локальный максимум в точке $(-2, 6)$ и локальные минимумы в точках $(-4, 0)$ и $(3, 0)$, которые в преобразованном графике являются точками касания оси абсцисс.