Номер 35.27, страница 175 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.27. Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[-9; 9]$ и является нечетной. Часть ее графика для $x \ge 0$ изображена на рисунке 30. Найдите:

а) множество значений функции;

б) нули функции;

в) промежутки знакопостоянства функции;

г) промежутки монотонности функции.

Функция $y=f(x)$ является нечетной, это означает, что для любого $x$ из ее области определения $[-9; 9]$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Используя это свойство и данный на рисунке 30 график для $x \ge 0$, мы можем определить свойства функции на всем отрезке $[-9; 9]$.

а) множество значений функции

Множество значений функции – это все значения, которые принимает переменная $y$. Из графика на промежутке $[0; 9]$ видно, что наименьшее значение функции достигается в точке $x=9$ и равно $f(9) = -5$, а наибольшее значение достигается в точке $x=6$ и равно $f(6) = 5$. Все значения между $-5$ и $5$ функция принимает. В силу нечетности функции ($f(-x) = -f(x)$), на промежутке $[-9; 0]$ значения функции будут зеркальными. Например, $f(-6) = -f(6) = -5$ и $f(-9) = -f(9) = -(-5) = 5$. Таким образом, на всем отрезке $[-9; 9]$ наименьшее значение функции равно -5, а наибольшее равно 5.

Ответ: $E(f) = [-5; 5]$.

б) нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс.

Из графика для $x \ge 0$ находим нули функции: $x = 0$, $x = 4$, $x = 8$.

Так как функция нечетная, если $f(x_0)=0$ при $x_0 \ne 0$, то и $f(-x_0) = -f(x_0) = 0$. Следовательно, нулями функции также являются числа, противоположные положительным нулям: $x = -4$ и $x = -8$.

Ответ: $x \in \{-8, -4, 0, 4, 8\}$.

в) промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные ($y > 0$) или только отрицательные ($y < 0$) значения.

Из графика для $x \ge 0$ видим:

• $f(x) > 0$ (график выше оси $x$) при $x \in (4; 8)$.
• $f(x) < 0$ (график ниже оси $x$) при $x \in (0; 4) \cup (8; 9]$.

Используя свойство нечетности, найдем промежутки знакопостоянства для $x < 0$. Знак функции $f(x)$ для отрицательного $x$ будет противоположен знаку $f(-x)$ для положительного $-x$.

• $f(x) > 0$ для $x < 0$ там, где $f(-x) < 0$. Это происходит при $-x \in (0; 4) \cup (8; 9]$, то есть при $x \in (-4; 0) \cup [-9; -8)$.
• $f(x) < 0$ для $x < 0$ там, где $f(-x) > 0$. Это происходит при $-x \in (4; 8)$, то есть при $x \in (-8; -4)$.

Объединяя все промежутки, получаем:

Ответ: функция положительна при $x \in [-9; -8) \cup (-4; 0) \cup (4; 8)$; функция отрицательна при $x \in (-8; -4) \cup (0; 4) \cup (8; 9]$.

г) промежутки монотонности функции

Промежутки монотонности — это интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

Из графика для $x \ge 0$ видим:

• Функция возрастает на отрезке $[2; 6]$ (от локального минимума до локального максимума).
• Функция убывает на отрезках $[0; 2]$ и $[6; 9]$.

Для нечетной функции характер монотонности (возрастание/убывание) на симметричных относительно нуля промежутках сохраняется. То есть, если функция возрастает на $(a,b)$, то она возрастает и на $(-b,-a)$.

• Так как функция возрастает на $[2; 6]$, она также возрастает на $[-6; -2]$.
• Так как функция убывает на $[0; 2]$, она также убывает на $[-2; 0]$.
• Так как функция убывает на $[6; 9]$, она также убывает на $[-9; -6]$.

Учитывая, что функция убывает на $[-2; 0]$ и на $[0; 2]$ и непрерывна в точке $x=0$, можно объединить эти отрезки в один общий промежуток убывания $[-2; 2]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-6; -2]$ и $[2; 6]$; функция убывает на промежутках $[-9; -6]$, $[-2; 2]$ и $[6; 9]$.