Номер 35.24, страница 175 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.24. Докажите, что функция является четной:

а) $f(x) = 8x^6 - 2x^2;$

б) $f(x) = 3|x| - 1;$

в) $f(x) = \frac{6}{x^4};$

г) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}.$

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Ее область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из заданных функций на соответствие этим условиям.

а) $f(x) = 8x^6 - 2x^2$

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля. Найдем значение функции от $-x$:

$f(-x) = 8(-x)^6 - 2(-x)^2 = 8x^6 - 2x^2 = f(x)$.

Поскольку оба условия выполняются (симметричная область определения и $f(-x) = f(x)$), функция является четной.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

б) $f(x) = 3|x| - 1$

Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична. Проверим равенство $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = 3|-x| - 1 = 3|x| - 1 = f(x)$.

Так как оба условия выполнены, функция является четной.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

в) $f(x) = \frac{6}{x^4}$

Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель равен нулю: $x^4 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{6}{(-x)^4} = \frac{6}{x^4} = f(x)$.

Оба условия четности выполняются, следовательно, функция является четной.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

г) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$

Область определения функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 - 7 \ge 0$. Решая неравенство, получаем $x^2 \ge 7$, или $|x| \ge \sqrt{7}$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; +\infty)$. Эта область является симметричной. Проверим равенство $f(-x) = f(x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 7} = \sqrt{x^2 - 7} = f(x)$.

Так как оба условия выполнены, функция является четной.

Ответ: Доказано, что функция является четной.