Номер 35.17, страница 174 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.17. На рисунке 28 изображен график функции $y = f(x)$, областью определения которой является множество всех действительных чисел. С помощью графика решите:

а) уравнение $f(x) = 0$;

б) неравенство $f(x) < 0$;

в) неравенство $f(x) \ge 0$.

а) Решить уравнение $f(x) = 0$ означает найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Графически это соответствует точкам пересечения графика функции с осью абсцисс (осью $Ox$).

На представленном графике видно, что кривая $y = f(x)$ пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых равны -5, -2 и 3.

Следовательно, решениями уравнения являются числа -5, -2, 3.

Ответ: -5; -2; 3.

б) Решить неравенство $f(x) < 0$ означает найти все значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения. Графически это соответствует интервалам, на которых график функции расположен ниже оси абсцисс $Ox$.

Из графика следует, что $f(x) < 0$ на интервале от минус бесконечности до -5, а также на интервале от -2 до 3. В точках $x = -5$, $x = -2$ и $x = 3$ функция равна нулю, поэтому эти точки не включаются в решение.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -5)$ и $(-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-2, 3)$.

в) Решить неравенство $f(x) \ge 0$ означает найти все значения $x$, при которых функция принимает неотрицательные значения (положительные или равные нулю). Графически это соответствует промежуткам, на которых график функции расположен выше оси абсцисс $Ox$ или на самой оси.

График функции расположен выше оси $Ox$ ($f(x) > 0$) на интервалах $(-5, -2)$ и $(3, +\infty)$. Значение функции равно нулю ($f(x) = 0$) в точках $x = -5$, $x = -2$ и $x = 3$.

Объединяя эти интервалы и точки, получаем решение: промежуток от -5 до -2, включая концы, и промежуток от 3 до плюс бесконечности, включая точку 3.

Ответ: $x \in [-5, -2] \cup [3, +\infty)$.