Номер 35.10, страница 172 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.10. На рисунке 26 изображен график функции $y = f(x)$. Пользуясь графиком, найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) нули функции;

г) промежутки знакопостоянства функции;

д) промежутки монотонности функции.

а)

б)

Рис. 26

График а)

а) область определения функции
Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. На графике видим, что функция существует для всех $x$ от $-8$ до $9$ включительно.
Ответ: $D(f) = [-8; 9]$.

б) множество значений функции
Множество значений функции – это множество всех значений $y$, которые принимает функция. На графике наименьшее значение функции (глобальный минимум) равно $-3$, а наибольшее значение (глобальный максимум) равно $5$.
Ответ: $E(f) = [-3; 5]$.

в) нули функции
Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox).
Из графика видно, что $f(x) = 0$ при $x = -7$, $x = -1$ и $x = 4$.
Ответ: $-7; -1; 4$.

г) промежутки знакопостоянства функции
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках $(-7; -1)$ и $(4; 9]$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутках $[-8; -7)$ и $(-1; 4)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-7; -1) \cup (4; 9]$; $f(x) < 0$ при $x \in [-8; -7) \cup (-1; 4)$.

д) промежутки монотонности функции
Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.

• Функция возрастает, когда ее график идет вверх (слева направо). Это происходит от $x = -8$ до $x = -5$ и от $x = 2$ до $x = 9$.
• Функция убывает, когда ее график идет вниз. Это происходит от $x = -5$ до $x = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-8; -5]$ и $[2; 9]$; функция убывает на промежутке $[-5; 2]$.

График б)

а) область определения функции
Функция определена для всех значений $x$ от $-9$ до $9$ включительно.
Ответ: $D(f) = [-9; 9]$.

б) множество значений функции
Наименьшее значение функции на графике равно $-5$, а наибольшее равно $6$.
Ответ: $E(f) = [-5; 6]$.

в) нули функции
График пересекает ось Ox в точках, где $x$ равен $-7, -2, 3$ и $7$.
Ответ: $-7; -2; 3; 7$.

г) промежутки знакопостоянства функции

• Функция положительна ($f(x) > 0$) на промежутках $[-9; -7)$, $(-2; 3)$ и $(7; 9]$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$) на промежутках $(-7; -2)$ и $(3; 7)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in [-9; -7) \cup (-2; 3) \cup (7; 9]$; $f(x) < 0$ при $x \in (-7; -2) \cup (3; 7)$.

д) промежутки монотонности функции
Определяем по направлению графика. Точки экстремумов (поворота) находятся при $x = -4$ (минимум), $x=-1$ (максимум), $x=2$ (минимум) и $x=5$ (максимум).

• Функция возрастает на промежутках от минимума до максимума: от $x=-4$ до $x=-1$ и от $x=2$ до $x=5$.
• Функция убывает на промежутках от начала до минимума, от максимума до минимума, и от максимума до конца: от $x=-9$ до $x=-4$, от $x=-1$ до $x=2$ и от $x=5$ до $x=9$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-4; -1]$ и $[2; 5]$; функция убывает на промежутках $[-9; -4]$, $[-1; 2]$ и $[5; 9]$.