Номер 35.8, страница 171 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.8. Найдите все значения аргумента, при которых значение функции равно 10:

а) $f(x) = x^2 - 9x$;

б) $g(x) = \frac{20}{x}$;

в) $h(x) = |x|$;

г) $p(x) = \sqrt{x-1}$.

а) Для того чтобы найти значения аргумента, при которых значение функции $f(x) = x^2 - 9x$ равно 10, необходимо решить уравнение $f(x) = 10$.

Составим и решим уравнение:

$x^2 - 9x = 10$

Это квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 9x - 10 = 0$

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=-9, c=-10$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, функция равна 10 при $x=10$ и $x=-1$.

Ответ: $-1; 10$.

б) Для функции $g(x) = \frac{20}{x}$ найдем значения аргумента $x$, при которых $g(x) = 10$.

Составим и решим уравнение:

$\frac{20}{x} = 10$

Область определения этой функции — все числа, кроме $x=0$.

Чтобы найти $x$, можно выразить его из уравнения:

$x = \frac{20}{10}$

$x = 2$

Полученное значение $x=2$ входит в область определения функции.

Ответ: $2$.

в) Для функции $h(x) = |x|$ найдем значения аргумента $x$, при которых $h(x) = 10$.

Составим и решим уравнение:

$|x| = 10$

По определению модуля, это уравнение означает, что число $x$ находится на расстоянии 10 единиц от нуля на числовой прямой. Этому условию удовлетворяют два числа: 10 и -10.

Таким образом, $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Ответ: $-10; 10$.

г) Для функции $p(x) = \sqrt{x - 1}$ найдем значения аргумента $x$, при которых $p(x) = 10$.

Составим и решим уравнение:

$\sqrt{x - 1} = 10$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \geq 0$, откуда $x \geq 1$.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$(\sqrt{x - 1})^2 = 10^2$

$x - 1 = 100$

Теперь найдем $x$:

$x = 100 + 1$

$x = 101$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $101 \geq 1$. Условие выполняется, значит, корень найден верно.

Ответ: $101$.