Номер 35.9, страница 172 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.9. Известно, что $f(x) = 2x^2 - 5x$. Найдите, если это возможно, все значения аргумента, при которых:

а) $f(x)=0$;

б) $f(x)=-2$;

в) $f(x)=3\frac{1}{8}$;

г) $f(x)=-17$.

а) Чтобы найти значения аргумента, при которых $f(x) = 0$, необходимо решить уравнение:

$2x^2 - 5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x - 5) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два решения:

$x_1 = 0$

или

$2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $0; 2.5$.

б) Чтобы найти значения аргумента, при которых $f(x) = -2$, решим уравнение:

$2x^2 - 5x = -2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Для его решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Ответ: $0.5; 2$.

в) Чтобы найти значения аргумента, при которых $f(x) = 3\frac{1}{8}$, решим соответствующее уравнение. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}$.

Уравнение принимает вид:

$2x^2 - 5x = \frac{25}{8}$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дроби, и перенесем все члены в левую часть:

$16x^2 - 40x - 25 = 0$

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-25) = 1600 + 1600 = 3200$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x = \frac{-(-40) \pm \sqrt{3200}}{2 \cdot 16} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 \cdot 2}}{32} = \frac{40 \pm 40\sqrt{2}}{32}$

Сократив дробь на 8, получим:

$x = \frac{5 \pm 5\sqrt{2}}{4}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{4}$

$x_2 = \frac{5 - 5\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $\frac{5 - 5\sqrt{2}}{4}; \frac{5 + 5\sqrt{2}}{4}$.

г) Чтобы найти значения аргумента, при которых $f(x) = -17$, решим уравнение:

$2x^2 - 5x = -17$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 5x + 17 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 17 = 25 - 136 = -111$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких значений аргумента $x$, при которых $f(x)$ равнялось бы $-17$.

Это также можно подтвердить, найдя наименьшее значение функции. Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 5x$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Ее наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}$. Наименьшее значение функции равно $f(x_0) = f(\frac{5}{4}) = 2(\frac{5}{4})^2 - 5(\frac{5}{4}) = 2 \cdot \frac{25}{16} - \frac{25}{4} = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$. Так как $-17 < -3.125$, значение $-17$ не входит в область значений функции.

Ответ: таких значений не существует.