Номер 35.12, страница 173 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.12. Определите, при каких значениях аргумента выражение, задающее функцию, имеет смысл:

а) $y = \frac{5x+8}{x+7};$

б) $y = \frac{9}{x^2-3x};$

в) $y = \frac{x-3}{x^2+4x+4};$

г) $y = \frac{5}{x^2-9};$

д) $y = \frac{x+8}{x-1} + \frac{5}{7x+2};$

е) $y = \frac{8}{x^2-3} + \frac{3}{x}.$

Для того чтобы выражение, задающее функцию, имело смысл, необходимо найти его область определения. В случае с дробно-рациональными функциями, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

а) $y = \frac{5x + 8}{x + 7}$

Данное выражение является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю. Знаменатель в данном случае равен $x + 7$. Найдем значение аргумента, при котором знаменатель обращается в ноль.

$x + 7 = 0$

$x = -7$

Следовательно, при $x = -7$ выражение не имеет смысла. Таким образом, функция определена для всех значений $x$, кроме -7.

Ответ: $x \neq -7$.

б) $y = \frac{9}{x^2 - 3x}$

Знаменатель дроби $x^2 - 3x$ не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.

$x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 3 = 0$

$x = 0$ или $x = 3$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 0 и 3.

Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 3$.

в) $y = \frac{x - 3}{x^2 + 4x + 4}$

Знаменатель дроби $x^2 + 4x + 4$ не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом суммы:

$(x + 2)^2 = 0$

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме -2.

Ответ: $x \neq -2$.

г) $y = \frac{5}{x^2 - 9}$

Знаменатель дроби $x^2 - 9$ не должен быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю.

$x^2 - 9 = 0$

Используем формулу разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$

$x = 3$ или $x = -3$

Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме -3 и 3.

Ответ: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

д) $y = \frac{x + 8}{x - 1} + \frac{5}{7x + 2}$

Данное выражение является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю. Рассмотрим оба знаменателя:

1) $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

2) $7x + 2 \neq 0 \implies 7x \neq -2 \implies x \neq -\frac{2}{7}$

Оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 1 и $-\frac{2}{7}$.

Ответ: $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{2}{7}$.

е) $y = \frac{8}{x^2 - 3} + \frac{3}{x}$

Данное выражение является суммой двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю. Рассмотрим оба знаменателя:

1) $x^2 - 3 \neq 0 \implies x^2 \neq 3 \implies x \neq \sqrt{3}$ и $x \neq -\sqrt{3}$

2) $x \neq 0$

Все три условия должны выполняться одновременно. Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $0$, $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$.

Ответ: $x \neq 0$, $x \neq \sqrt{3}$, $x \neq -\sqrt{3}$.