Номер 35.25, страница 175 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.25. Докажите, что функция является нечетной:

a) $f(x) = 2x^3 - 5x;$

б) $f(x) = \frac{x^2+1}{x};$

в) $f(x) = \frac{|x|}{3x};$

г) $f(x) = 4x^5.$

Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Проверим это условие для каждой из заданных функций.

а) $f(x) = 2x^3 - 5x$
Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x)^3 - 5(-x) = 2(-x^3) + 5x = -2x^3 + 5x = -(2x^3 - 5x) = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

б) $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$
Область определения функции $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 1}{-x} = \frac{x^2 + 1}{-x} = -\frac{x^2 + 1}{x} = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

в) $f(x) = \frac{|x|}{3x}$
Область определения функции $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдем $f(-x)$, используя свойство модуля $|-a|=|a|$:
$f(-x) = \frac{|-x|}{3(-x)} = \frac{|x|}{-3x} = -\frac{|x|}{3x} = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.

г) $f(x) = 4x^5$
Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 4(-x)^5 = 4(-x^5) = -4x^5 = -f(x)$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция является нечетной.