Номер 35.31, страница 176 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.31. В одной системе координат изобразите графики функций: $f_1(x) = \sqrt{x-1}$; $f_2(x) = \sqrt{x+2}$; $f_3(x) = \sqrt{x+3}$; $f_4(x) = \sqrt{x-4}$; $f_5(x) = \sqrt{x-3}-5$.

Все заданные функции являются преобразованиями (сдвигами) графика базовой функции $y=\sqrt{x}$.

График функции вида $y = \sqrt{x-h} + k$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса на вектор $(h, k)$, то есть сдвигом на $h$ единиц по горизонтали (вправо при $h>0$, влево при $h<0$) и на $k$ единиц по вертикали (вверх при $k>0$, вниз при $k<0$). Начальная точка графика $(0,0)$ перемещается в точку $(h, k)$.

Данный график получается из графика функции $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Здесь $h=1, k=0$. Начальная точка графика находится в $(1, 0)$. Область определения функции: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Для построения найдем несколько точек:

• при $x=1, y=\sqrt{1-1}=0$
• при $x=2, y=\sqrt{2-1}=1$
• при $x=5, y=\sqrt{5-1}=2$

Ответ: График функции $f_1(x)$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (1, 0), являющаяся результатом сдвига графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу вправо.

Данный график получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Здесь $h=-2, k=0$. Начальная точка графика: $(-2, 0)$. Область определения: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

Контрольные точки:

• при $x=-2, y=\sqrt{-2+2}=0$
• при $x=-1, y=\sqrt{-1+2}=1$
• при $x=2, y=\sqrt{2+2}=2$

Ответ: График функции $f_2(x)$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (-2, 0), являющаяся результатом сдвига графика $y=\sqrt{x}$ на 2 единицы влево.

Данный график получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Здесь $h=-3, k=0$. Начальная точка графика: $(-3, 0)$. Область определения: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Контрольные точки:

• при $x=-3, y=\sqrt{-3+3}=0$
• при $x=-2, y=\sqrt{-2+3}=1$
• при $x=1, y=\sqrt{1+3}=2$

Ответ: График функции $f_3(x)$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (-3, 0), являющаяся результатом сдвига графика $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы влево.

Данный график получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Здесь $h=4, k=0$. Начальная точка графика: $(4, 0)$. Область определения: $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

Контрольные точки:

• при $x=4, y=\sqrt{4-4}=0$
• при $x=5, y=\sqrt{5-4}=1$
• при $x=8, y=\sqrt{8-4}=2$

Ответ: График функции $f_4(x)$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (4, 0), являющаяся результатом сдвига графика $y=\sqrt{x}$ на 4 единицы вправо.

Данный график получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Здесь $h=3, k=-5$. Начальная точка графика: $(3, -5)$. Область определения: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

Контрольные точки:

• при $x=3, y=\sqrt{3-3}-5=-5$
• при $x=4, y=\sqrt{4-3}-5 = 1-5 = -4$
• при $x=7, y=\sqrt{7-3}-5 = 2-5 = -3$

Ответ: График функции $f_5(x)$ — это ветвь параболы, выходящая из точки (3, -5), являющаяся результатом сдвига графика $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы вправо и 5 единиц вниз.

Ниже представлены все пять графиков, построенные в одной системе координат.