Номер 35.35, страница 177 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.35. Функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел, $E(f) = [-5; 9]$. Найдите множество значений функции:

а) $y = f(x-1);$

б) $y = f(x)+5;$

в) $y = f(x+2)-7;$

г) $y = f(x-1)-4.$

По условию, функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел, а её множество значений (или область значений) $E(f)$ равно отрезку $[-5; 9]$. Это означает, что для любого допустимого значения $x$ справедливо двойное неравенство:

$-5 \le f(x) \le 9$.

Будем использовать это неравенство для нахождения множества значений каждой из предложенных функций.

а) $y = f(x - 1)$

Преобразование $y = f(x - 1)$ является горизонтальным сдвигом графика функции $y = f(x)$ на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Такой сдвиг не изменяет множество значений функции, так как значения, которые принимает $f(x-1)$, полностью совпадают со значениями, которые принимает $f(x)$. Изменяются только значения аргумента $x$, при которых эти значения достигаются.

Следовательно, множество значений функции $y = f(x - 1)$ совпадает с исходным множеством значений.

Ответ: $[-5; 9]$.

б) $y = f(x) + 5$

Преобразование $y = f(x) + 5$ является вертикальным сдвигом графика функции $y = f(x)$ на 5 единиц вверх вдоль оси ординат. При этом каждое значение функции увеличивается на 5.

Возьмем исходное неравенство $-5 \le f(x) \le 9$ и прибавим 5 к каждой его части:

$-5 + 5 \le f(x) + 5 \le 9 + 5$

$0 \le y \le 14$

Таким образом, множество значений новой функции — это отрезок $[0; 14]$.

Ответ: $[0; 14]$.

в) $y = f(x + 2) - 7$

Данное преобразование состоит из двух частей: горизонтального сдвига $f(x+2)$ и вертикального сдвига (вычитание 7).

Горизонтальный сдвиг на 2 единицы влево не влияет на множество значений, поэтому значения функции $f(x+2)$ по-прежнему находятся в отрезке $[-5; 9]$. То есть, $-5 \le f(x+2) \le 9$.

Вертикальный сдвиг на 7 единиц вниз изменяет этот диапазон. Вычтем 7 из каждой части неравенства:

$-5 - 7 \le f(x + 2) - 7 \le 9 - 7$

$-12 \le y \le 2$

Следовательно, множество значений функции $y = f(x + 2) - 7$ есть отрезок $[-12; 2]$.

Ответ: $[-12; 2]$.

г) $y = f(x - 1) - 4$

Это преобразование также состоит из горизонтального и вертикального сдвигов.

Горизонтальный сдвиг на 1 единицу вправо ($f(x-1)$) не изменяет множество значений, которое остается $[-5; 9]$. Таким образом, $-5 \le f(x-1) \le 9$.

Вертикальный сдвиг на 4 единицы вниз (вычитание 4) изменяет множество значений. Вычтем 4 из каждой части этого неравенства:

$-5 - 4 \le f(x - 1) - 4 \le 9 - 4$

$-9 \le y \le 5$

Следовательно, множество значений функции $y = f(x - 1) - 4$ есть отрезок $[-9; 5]$.

Ответ: $[-9; 5]$.