Номер 35.39, страница 177 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

35.39. Найдите, сколько целых чисел из промежутка [-101; 45] принадлежит области определения функции

$y = \sqrt{x^2 - x + 1} + \frac{2}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - x + 1} + \frac{2}{\sqrt{x^2 + 1}}$ — это множество всех значений $x$, при которых функция имеет смысл. Для этого должны выполняться два условия одновременно:

1) Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - x + 1 \ge 0$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 1$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$) и дискриминант отрицателен ($D < 0$), данный квадратный трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном $x$. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

2) Выражение под вторым квадратным корнем, который находится в знаменателе, должно быть строго положительным: $x^2 + 1 > 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Значит, неравенство $x^2 + 1 > 0$ также выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как оба условия выполняются для всех действительных чисел, область определения функции — все множество действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь необходимо найти, сколько целых чисел из промежутка $[-101; 45]$ принадлежит области определения. Поскольку область определения — все действительные числа, нам нужно посчитать количество целых чисел в указанном промежутке.

Количество целых чисел в промежутке $[a; b]$, где $a$ и $b$ — целые, находится по формуле $b - a + 1$. Для промежутка $[-101; 45]$: $45 - (-101) + 1 = 45 + 101 + 1 = 147$.

Ответ: 147.