Номер 36.6, страница 178 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.6. Решите уравнение, используя алгоритм:

а) $\frac{x+2}{x-2} + 1 = 0;$

б) $\frac{x+3}{x-3} + 1 = 0;$

в) $\frac{2x}{x+1} = 1;$

г) $\frac{2x}{x-21} = -1.$

а)

Дано уравнение: $\frac{x+2}{x-2} + 1 = 0$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

2. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x-2$. Для этого представим $1$ как дробь $\frac{x-2}{x-2}$:

$\frac{x+2}{x-2} + \frac{x-2}{x-2} = 0$

3. Сложим дроби:

$\frac{(x+2) + (x-2)}{x-2} = 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{x+2+x-2}{x-2} = 0$

$\frac{2x}{x-2} = 0$

4. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$2x = 0$

$x = 0$

5. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы нашли $x=0$. Условие ОДЗ — $x \neq 2$. Поскольку $0 \neq 2$, корень подходит.

Ответ: $x=0$.

б)

Дано уравнение: $\frac{x+3}{x-3} + 1 = 0$.

1. Определим ОДЗ: $x-3 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

2. Приведем левую часть к общему знаменателю $x-3$:

$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x-3} = 0$

3. Сложим дроби:

$\frac{(x+3) + (x-3)}{x-3} = 0$

$\frac{x+3+x-3}{x-3} = 0$

$\frac{2x}{x-3} = 0$

4. Приравняем числитель к нулю:

$2x = 0$

$x = 0$

5. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы нашли $x=0$. Условие ОДЗ — $x \neq 3$. Поскольку $0 \neq 3$, корень подходит.

Ответ: $x=0$.

в)

Дано уравнение: $\frac{2x}{x+1} = 1$.

1. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$\frac{2x}{x+1} - 1 = 0$

2. Определим ОДЗ: $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.

3. Приведем левую часть к общему знаменателю $x+1$:

$\frac{2x}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} = 0$

4. Выполним вычитание дробей:

$\frac{2x - (x+1)}{x+1} = 0$

$\frac{2x - x - 1}{x+1} = 0$

$\frac{x-1}{x+1} = 0$

5. Приравняем числитель к нулю:

$x-1 = 0$

$x = 1$

6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы нашли $x=1$. Условие ОДЗ — $x \neq -1$. Поскольку $1 \neq -1$, корень подходит.

Ответ: $x=1$.

г)

Дано уравнение: $\frac{2x}{x-21} = -1$.

1. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$\frac{2x}{x-21} + 1 = 0$

2. Определим ОДЗ: $x-21 \neq 0$, откуда $x \neq 21$.

3. Приведем левую часть к общему знаменателю $x-21$:

$\frac{2x}{x-21} + \frac{x-21}{x-21} = 0$

4. Сложим дроби:

$\frac{2x + (x-21)}{x-21} = 0$

$\frac{2x + x - 21}{x-21} = 0$

$\frac{3x - 21}{x-21} = 0$

5. Приравняем числитель к нулю:

$3x - 21 = 0$

$3x = 21$

$x = 7$

6. Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы нашли $x=7$. Условие ОДЗ — $x \neq 21$. Поскольку $7 \neq 21$, корень подходит.

Ответ: $x=7$.