Номер 36.8, страница 179 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.8. Числитель дроби на 5 меньше знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то новая дробь будет равна $\frac{1}{2}$. Найдите первоначальную дробь.

Пусть знаменатель первоначальной дроби равен $x$. Согласно условию, числитель дроби на 5 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x - 5$. Таким образом, первоначальная дробь имеет вид $\frac{x-5}{x}$.

Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то получим новую дробь. Новый числитель будет равен $(x-5) - 2 = x-7$. Новый знаменатель будет равен $x+2$. Новая дробь имеет вид $\frac{x-7}{x+2}$.

По условию задачи, новая дробь равна $\frac{1}{2}$. Составим уравнение:

$\frac{x-7}{x+2} = \frac{1}{2}$

Решим данное уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение). При этом необходимо учесть, что знаменатели не могут быть равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

$2(x-7) = 1(x+2)$
$2x - 14 = x + 2$
$2x - x = 14 + 2$
$x = 16$

Полученное значение $x=16$ удовлетворяет условиям $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Теперь найдем первоначальную дробь. Знаменатель: $x = 16$. Числитель: $x-5 = 16-5 = 11$. Таким образом, искомая дробь — $\frac{11}{16}$.

Выполним проверку. Числитель 11 на 5 меньше знаменателя 16, что соответствует первому условию. При изменении дроби получаем $\frac{11-2}{16+2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$, что соответствует второму условию.

Ответ: $\frac{11}{16}$