Номер 36.26, страница 181 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.26. Найдите среднее арифметическое корней (корень, если он единственный) уравнения $ \frac{x+3}{4x^2-9} + \frac{x-3}{4x^2+12x+9} + \frac{4}{6-4x} = 0 $.

Для решения данного уравнения сначала преобразуем знаменатели дробей и определим область допустимых значений (ОДЗ).

Исходное уравнение:

$\frac{x+3}{4x^2 - 9} + \frac{x-3}{4x^2 + 12x + 9} + \frac{4}{6 - 4x} = 0$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

• $4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$
• $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$
• $6 - 4x = -2(2x - 3)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не должны быть равны нулю:

• $2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$
• $2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2}$

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm \frac{3}{2}$.

Подставим разложенные знаменатели обратно в уравнение:

$\frac{x+3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{x-3}{(2x + 3)^2} + \frac{4}{-2(2x - 3)} = 0$

Упростим последнюю дробь:

$\frac{x+3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{x-3}{(2x + 3)^2} - \frac{2}{2x - 3} = 0$

Чтобы решить уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(2x - 3)(2x + 3)^2$.

$\frac{(x+3)(2x+3)}{(2x - 3)(2x + 3)^2} + \frac{(x-3)(2x-3)}{(2x - 3)(2x + 3)^2} - \frac{2(2x+3)^2}{(2x - 3)(2x + 3)^2} = 0$

Так как в ОДЗ знаменатель не равен нулю, мы можем приравнять числитель к нулю:

$(x+3)(2x+3) + (x-3)(2x-3) - 2(2x+3)^2 = 0$

Раскроем скобки:

$(2x^2 + 3x + 6x + 9) + (2x^2 - 3x - 6x + 9) - 2(4x^2 + 12x + 9) = 0$

$(2x^2 + 9x + 9) + (2x^2 - 9x + 9) - (8x^2 + 24x + 18) = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 9x + 9 + 2x^2 - 9x + 9 - 8x^2 - 24x - 18 = 0$

$(2x^2 + 2x^2 - 8x^2) + (9x - 9x - 24x) + (9 + 9 - 18) = 0$

$-4x^2 - 24x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $-4x$ за скобки:

$-4x(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $-4x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

Оба полученных корня, $0$ и $-6$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm \frac{3}{2}$).

Согласно условию задачи, найдем среднее арифметическое этих корней:

Среднее арифметическое = $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0 + (-6)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: -3