Номер 36.33, страница 182 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.33. Найдите число целых корней уравнения$ \frac{2}{x^2 - 6x + 8} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-2} $ на промежутке $[-1; 7]$.

Для решения уравнения $\frac{2}{x^2 - 6x + 8} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-2}$ найдем сначала область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $x^2 - 6x + 8 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x \neq 2$ и $x \neq 4$.
Это выражение можно разложить на множители: $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.

2. $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

3. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Подставим разложение знаменателя в левую часть и приведем правую часть к общему знаменателю $(x-2)(x-4)$:

$\frac{2}{(x-2)(x-4)} = \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-4)(x-2)} - \frac{1 \cdot (x-4)}{(x-2)(x-4)}$

Поскольку знаменатели равны, и мы учли ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$2 = (x-2) - (x-4)$

$2 = x - 2 - x + 4$

$2 = 2$

Мы получили верное числовое равенство (тождество). Это означает, что исходное уравнение верно для всех значений $x$, принадлежащих области допустимых значений (ОДЗ).

Теперь нам нужно найти количество целых корней уравнения на промежутке $[-1; 7]$.

Выпишем все целые числа, входящие в промежуток $[-1; 7]$:

-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Из этого набора нужно исключить значения, которые не входят в ОДЗ, то есть $x=2$ и $x=4$.

Таким образом, целыми корнями уравнения на заданном промежутке являются числа:

-1, 0, 1, 3, 5, 6, 7.

Подсчитаем их количество: всего 7 чисел.

Ответ: 7