Номер 36.39, страница 183 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.39*. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч 20 мин. Сколько времени потребуется каждому из них, чтобы пройти весь путь, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 1,5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?

1. Введение обозначений и единиц

Пусть $t_1$ и $t_2$ – время в часах, которое требуется первому и второму пешеходу соответственно, чтобы пройти весь путь. Пусть $S$ – это весь путь, а $v_1$ и $v_2$ – скорости пешеходов.

По условию, пешеходы встретились через 3 часа 20 минут. Переведем это время в часы:

$t_{встр} = 3 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 3 + \frac{20}{60} \text{ ч} = 3 + \frac{1}{3} \text{ ч} = \frac{10}{3} \text{ ч}$.

Также по условию, первый пешеход пришел на 1,5 часа позже второго. Это означает, что время первого пешехода на 1,5 часа больше времени второго:

$t_1 - t_2 = 1.5$

2. Составление системы уравнений

Полное время каждого пешехода выражается через расстояние и скорость: $t_1 = \frac{S}{v_1}$ и $t_2 = \frac{S}{v_2}$.

Когда пешеходы движутся навстречу друг другу, они сближаются с суммарной скоростью $v_1 + v_2$. До момента встречи они вместе преодолевают все расстояние $S$. Таким образом, мы можем записать:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$

Выразим скорости из предыдущих формул: $v_1 = \frac{S}{t_1}$ и $v_2 = \frac{S}{t_2}$. Подставим эти выражения в уравнение для встречи:

$S = \left(\frac{S}{t_1} + \frac{S}{t_2}\right) \cdot t_{встр}$

Так как расстояние $S$ не равно нулю, можно разделить обе части уравнения на $S$:

$1 = \left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right) \cdot t_{встр}$

Это уравнение связывает время встречи с полным временем в пути каждого пешехода. Приведя дроби к общему знаменателю, получим:

$1 = \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \cdot t_{встр}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $t_1$ и $t_2$:

$\begin{cases} t_1 - t_2 = 1.5 \\ \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} = \frac{10}{3} \end{cases}$

3. Решение системы уравнений

Из первого уравнения выразим $t_1$ через $t_2$:

$t_1 = t_2 + 1.5$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{(t_2 + 1.5) \cdot t_2}{(t_2 + 1.5) + t_2} = \frac{10}{3}$

$\frac{t_2^2 + 1.5 t_2}{2t_2 + 1.5} = \frac{10}{3}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(t_2^2 + 1.5 t_2) = 10(2t_2 + 1.5)$

$3t_2^2 + 4.5 t_2 = 20t_2 + 15$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t_2^2 + 4.5 t_2 - 20t_2 - 15 = 0$

$3t_2^2 - 15.5 t_2 - 15 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$6t_2^2 - 31t_2 - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-30) = 961 + 720 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{1681} = 41$.

Найдем возможные значения для $t_2$:

$t_{2,1} = \frac{-(-31) + 41}{2 \cdot 6} = \frac{31 + 41}{12} = \frac{72}{12} = 6$

$t_{2,2} = \frac{-(-31) - 41}{2 \cdot 6} = \frac{31 - 41}{12} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$

Поскольку время не может быть отрицательным, принимаем единственное верное решение: $t_2 = 6$ часов.

Теперь найдем время первого пешехода:

$t_1 = t_2 + 1.5 = 6 + 1.5 = 7.5$ часов.

7,5 часов – это 7 часов и 30 минут.

Ответ: Первому пешеходу потребуется 7,5 часов (7 часов 30 минут), чтобы пройти весь путь, а второму пешеходу – 6 часов.