Номер 36.45, страница 184 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.45*. Найдите сумму корней уравнения

$\frac{x^2 - 12x - 13|x - 6| + 76}{x - 11} = 0$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, необходимо решить систему:

Из второго условия находим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 11$.

Теперь решим первое уравнение системы: $x^2 - 12x - 13|x-6| + 76 = 0$. Для того чтобы раскрыть модуль, рассмотрим два случая.

1. Случай, когда $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.
В этом случае $|x-6| = x-6$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 12x - 13(x-6) + 76 = 0$
$x^2 - 12x - 13x + 78 + 76 = 0$
$x^2 - 25x + 154 = 0$
По теореме Виета, сумма корней этого квадратного уравнения равна 25, а произведение 154. Корни: $x_1 = 11$, $x_2 = 14$.
Проверим эти корни. Корень $x_1 = 11$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 11$), поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = 14$ удовлетворяет условиям $x \ge 6$ и $x \neq 11$, следовательно, он является решением исходного уравнения.

2. Случай, когда $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$.
В этом случае $|x-6| = -(x-6) = 6-x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 12x - 13(-(x-6)) + 76 = 0$
$x^2 - 12x + 13(x-6) + 76 = 0$
$x^2 - 12x + 13x - 78 + 76 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение -2. Корни: $x_3 = 1$, $x_4 = -2$.
Оба корня удовлетворяют условию $x < 6$ и ОДЗ, поэтому оба являются решениями.

Таким образом, мы нашли три корня исходного уравнения: $14$, $1$ и $-2$.

Найдем их сумму:
$14 + 1 + (-2) = 15 - 2 = 13$.

Ответ: 13