Номер 36.46, страница 184 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.46*. При каком значении $a$ уравнение $\frac{4x - 12a}{x + 2a + 1} = 0$ не имеет корней?

36.46.*

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю в том и только в том случае, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Таким образом, уравнение $\frac{4x - 12a}{x + 2a + 1} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} 4x - 12a = 0, \\ x + 2a + 1 \neq 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$4x - 12a = 0$

$4x = 12a$

$x = 3a$

Это выражение для $x$ является единственным возможным корнем исходного уравнения. Уравнение не будет иметь корней, если этот корень не удовлетворяет второму условию системы, то есть если при подстановке $x = 3a$ знаменатель обращается в ноль.

Найдем значение параметра $a$, при котором это происходит. Для этого подставим $x = 3a$ в выражение для знаменателя и приравняем его к нулю:

$(3a) + 2a + 1 = 0$

$5a + 1 = 0$

$5a = -1$

$a = -\frac{1}{5}$

Итак, при $a = -\frac{1}{5}$ единственный кандидат в корни, получаемый из числителя, $x = 3a = 3 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$, делает знаменатель равным нулю: $-\frac{3}{5} + 2(-\frac{1}{5}) + 1 = -\frac{3}{5} - \frac{2}{5} + 1 = -1 + 1 = 0$. Следовательно, он не является корнем уравнения. Поскольку других потенциальных корней нет, то при $a = -\frac{1}{5}$ исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: при $a = -\frac{1}{5}$.