Номер 37.4, страница 185 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.4. Решите систему уравнений методом сложения:

a)$\begin{cases} x^2 + xy = 7, \\ x^2 - xy = -5; \end{cases}$

б)$\begin{cases} x - xy = 6, \\ y - xy = 2; \end{cases}$

в)$\begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ x^2 - y^2 = -5; \end{cases}$

г)$\begin{cases} x^2 - xy = 6, \\ y^2 - xy = 3. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + xy = 7, \\ x^2 - xy = -5; \end{cases}$
Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить член $xy$:
$(x^2 + xy) + (x^2 - xy) = 7 + (-5)$
$2x^2 = 2$
$x^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Теперь вычтем из первого уравнения второе, чтобы найти $xy$:
$(x^2 + xy) - (x^2 - xy) = 7 - (-5)$
$x^2 + xy - x^2 + xy = 7 + 5$
$2xy = 12$
$xy = 6$
Подставим найденные значения $x$ в уравнение $xy = 6$, чтобы найти соответствующие значения $y$.
1) Если $x = 1$, то $1 \cdot y = 6$, откуда $y = 6$. Получаем решение $(1; 6)$.
2) Если $x = -1$, то $-1 \cdot y = 6$, откуда $y = -6$. Получаем решение $(-1; -6)$.
Ответ: $(1; 6), (-1; -6)$.

б) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x - xy = 6, \\ y - xy = 2; \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы избавиться от члена $xy$:
$(x - xy) - (y - xy) = 6 - 2$
$x - y = 4$
Выразим $x$ через $y$: $x = y + 4$.
Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $y - xy = 2$:
$y - (y+4)y = 2$
$y - y^2 - 4y = 2$
$-y^2 - 3y - 2 = 0$
Умножим все члены уравнения на -1:
$y^2 + 3y + 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корни уравнения: $y_1 = -1$, $y_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 4$:
1) Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 4 = 3$. Получаем решение $(3; -1)$.
2) Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 4 = 2$. Получаем решение $(2; -2)$.
Ответ: $(3; -1), (2; -2)$.

в) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ x^2 - y^2 = -5; \end{cases}$
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 7 + (-5)$
$2x^2 = 2$
$x^2 = 1$
Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Вычтем из первого уравнения второе:
$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 7 - (-5)$
$2y^2 = 12$
$y^2 = 6$
Отсюда $y_1 = \sqrt{6}$, $y_2 = -\sqrt{6}$.
Поскольку в уравнения входят только квадраты переменных, любое из найденных значений $x$ может сочетаться с любым из найденных значений $y$. Таким образом, получаем четыре пары решений:
1) $(1; \sqrt{6})$
2) $(1; -\sqrt{6})$
3) $(-1; \sqrt{6})$
4) $(-1; -\sqrt{6})$
Ответ: $(1; \sqrt{6}), (1; -\sqrt{6}), (-1; \sqrt{6}), (-1; -\sqrt{6})$.

г) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - xy = 6, \\ y^2 - xy = 3; \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе:
$(x^2 - xy) - (y^2 - xy) = 6 - 3$
$x^2 - y^2 = 3$
$(x-y)(x+y) = 3$
Этот способ не приводит к простому решению. Попробуем другой подход, основанный на вычитании.
Вынесем общие множители в каждом уравнении:
$x(x-y) = 6$
$y(y-x) = 3$
Преобразуем второе уравнение: $y \cdot (-(x-y)) = 3$, что равносильно $y(x-y) = -3$.
Теперь у нас есть новая система:
$\begin{cases} x(x-y) = 6, \\ y(x-y) = -3; \end{cases}$
Заметим, что $x-y \neq 0$ (иначе $0=6$, что неверно). Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{x(x-y)}{y(x-y)} = \frac{6}{-3}$
$\frac{x}{y} = -2$
$x = -2y$.
Подставим это выражение во второе исходное уравнение $y^2 - xy = 3$:
$y^2 - (-2y)y = 3$
$y^2 + 2y^2 = 3$
$3y^2 = 3$
$y^2 = 1$
Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x = -2y$:
1) Если $y = 1$, то $x = -2 \cdot 1 = -2$. Получаем решение $(-2; 1)$.
2) Если $y = -1$, то $x = -2 \cdot (-1) = 2$. Получаем решение $(2; -1)$.
Ответ: $(-2; 1), (2; -1)$.