Номер 37.1, страница 184 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.1. Верно ли, что решениями системы уравнений $\begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$ являются пары чисел $(-3; -2)$ и $(3; 2)$?

37.1.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проверить, удовлетворяют ли указанные пары чисел обоим уравнениям системы. Также можно решить систему уравнений и сравнить полученные решения с предложенными.

Способ 1: Проверка подстановкой

Данная система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

1. Проверим пару чисел (-3; -2). Для этой пары $x = -3$ и $y = -2$.

Подставляем значения в первое уравнение:

$2(-3) - 3(-2) = -6 - (-6) = -6 + 6 = 0$.

Равенство $0 = 0$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение:

$(-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.

Равенство $13 = 13$ является верным.

Так как оба уравнения обратились в верные числовые равенства, пара (-3; -2) является решением системы.

2. Проверим пару чисел (3; 2). Для этой пары $x = 3$ и $y = 2$.

Подставляем значения в первое уравнение:

$2(3) - 3(2) = 6 - 6 = 0$.

Равенство $0 = 0$ является верным.

Подставляем значения во второе уравнение:

$3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$.

Равенство $13 = 13$ является верным.

Так как оба уравнения обратились в верные числовые равенства, пара (3; 2) также является решением системы.

Этот способ показывает, что утверждение верно. Для полноты решения найдем все корни системы.

Способ 2: Решение системы уравнений

Будем решать систему методом подстановки.

Из первого уравнения $2x - 3y = 0$ выразим переменную $x$ через $y$:

$2x = 3y$

$x = \frac{3}{2}y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 13$:

$(\frac{3}{2}y)^2 + y^2 = 13$

$\frac{9}{4}y^2 + y^2 = 13$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$\frac{9}{4}y^2 + \frac{4}{4}y^2 = 13$

$\frac{13}{4}y^2 = 13$

Разделим обе части уравнения на 13:

$\frac{1}{4}y^2 = 1$

$y^2 = 4$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя формулу $x = \frac{3}{2}y$.

При $y_1 = 2$, получаем $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Таким образом, первое решение: (3; 2).

При $y_2 = -2$, получаем $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$. Таким образом, второе решение: (-3; -2).

Система имеет ровно два решения, которые в точности совпадают с парами чисел, указанными в условии задачи.

Ответ: Верно.