Номер 37.2, страница 184 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.2. Решением системы уравнений $\begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$ является пара чисел:

а) $(-3; -2)$; б) $(3; 2)$; в) $(3; -2)$; г) $(-3; 2)$.

Выберите правильные ответы.

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases}$

1. Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$2x - 3y = 0$

$2x = 3y$

$x = \frac{3}{2}y$

2. Теперь подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(\frac{3}{2}y)^2 - y^2 = 5$

3. Решим получившееся уравнение относительно $y$:

$\frac{9}{4}y^2 - y^2 = 5$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{9y^2 - 4y^2}{4} = 5$

$\frac{5y^2}{4} = 5$

Разделим обе части на 5:

$\frac{y^2}{4} = 1$

$y^2 = 4$

Из этого следует, что $y$ может принимать два значения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

4. Найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = \frac{3}{2}y$:

При $y_1 = 2$, $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Первое решение: $(3; 2)$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$. Второе решение: $(-3; -2)$.

Таким образом, система имеет два решения: $(-3; -2)$ и $(3; 2)$.

Теперь проверим, какие из предложенных вариантов ответов являются верными.

а) (-3; -2)

Эта пара чисел является одним из найденных нами решений. Проверим подстановкой в оба уравнения:

Для $2x - 3y = 0$: $2(-3) - 3(-2) = -6 + 6 = 0$. Равенство верно.

Для $x^2 - y^2 = 5$: $(-3)^2 - (-2)^2 = 9 - 4 = 5$. Равенство верно.

Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением.

Ответ: является решением.

б) (3; 2)

Эта пара чисел также является одним из найденных нами решений. Проверим подстановкой:

Для $2x - 3y = 0$: $2(3) - 3(2) = 6 - 6 = 0$. Равенство верно.

Для $x^2 - y^2 = 5$: $(3)^2 - (2)^2 = 9 - 4 = 5$. Равенство верно.

Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением.

Ответ: является решением.

в) (3; -2)

Проверим эту пару чисел подстановкой в первое уравнение:

Для $2x - 3y = 0$: $2(3) - 3(-2) = 6 + 6 = 12$.

Поскольку $12 \neq 0$, эта пара не удовлетворяет первому уравнению и, следовательно, не является решением системы.

Ответ: не является решением.

г) (-3; 2)

Проверим эту пару чисел подстановкой в первое уравнение:

Для $2x - 3y = 0$: $2(-3) - 3(2) = -6 - 6 = -12$.

Поскольку $-12 \neq 0$, эта пара не удовлетворяет первому уравнению и, следовательно, не является решением системы.

Ответ: не является решением.

Правильными ответами являются варианты а) и б).