Номер 36.48, страница 184 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

36.48*. Решите уравнение $ \frac{7}{x^2 + 2x + 8} + \frac{13}{(x+1)^6 + 13} = 2 $.

Преобразуем знаменатель первой дроби в левой части уравнения, выделив полный квадрат:

$x^2 + 2x + 8 = (x^2 + 2x + 1) + 7 = (x+1)^2 + 7$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$, то знаменатель первой дроби $(x+1)^2 + 7 \ge 7$. Наименьшее значение знаменателя равно 7 и достигается при $x = -1$.

Следовательно, первая дробь не может быть больше 1:

$$ \frac{7}{(x+1)^2 + 7} \le \frac{7}{7} = 1 $$

Теперь рассмотрим вторую дробь. Выражение в знаменателе $(x+1)^6$ неотрицательно, так как возводится в четную степень, то есть $(x+1)^6 \ge 0$.

Следовательно, знаменатель второй дроби $(x+1)^6 + 13 \ge 13$. Наименьшее значение знаменателя равно 13 и также достигается при $x = -1$.

Таким образом, вторая дробь также не может быть больше 1:

$$ \frac{13}{(x+1)^6 + 13} \le \frac{13}{13} = 1 $$

Сложим полученные неравенства, чтобы оценить левую часть исходного уравнения:

$$ \frac{7}{x^2 + 2x + 8} + \frac{13}{(x+1)^6 + 13} \le 1 + 1 = 2 $$

Мы видим, что левая часть уравнения всегда меньше или равна 2. Согласно условию задачи, она равна 2. Равенство возможно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно принимают свои максимальные значения, то есть оба равны 1.

Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{7}{(x+1)^2 + 7} = 1 \\ \frac{13}{(x+1)^6 + 13} = 1 \end{cases} $$

Решим первое уравнение:

$(x+1)^2 + 7 = 7$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

Решим второе уравнение:

$(x+1)^6 + 13 = 13$

$(x+1)^6 = 0$

$x = -1$

Оба уравнения выполняются при одном и том же значении $x = -1$. Следовательно, это единственное решение исходного уравнения.

Ответ: -1