Номер 37.3, страница 184 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.3. Решите систему уравнений методом подстановки:

а) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ x - y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x - 4y = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 4y^2 = 9, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + xy = 0, \\ x - 4y = 1. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 7, \\ x - y = 1. \end{cases} $
Для решения системы методом подстановки выразим одну переменную из одного уравнения и подставим полученное выражение в другое уравнение.
Из второго уравнения $x - y = 1$ выразим переменную $x$:
$x = y + 1$
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы $x^2 - y^2 = 7$:
$(y + 1)^2 - y^2 = 7$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(y^2 + 2y + 1) - y^2 = 7$
Приведем подобные слагаемые:
$2y + 1 = 7$
$2y = 7 - 1$
$2y = 6$
$y = 3$
Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y=3$ в выражение $x = y + 1$:
$x = 3 + 1 = 4$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(4; 3)$.
Ответ: $(4; 3)$.

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x - 4y = 0. \end{cases} $
Из второго уравнения $x - 4y = 0$ выразим переменную $x$:
$x = 4y$
Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 17$:
$(4y)^2 + y^2 = 17$
Решим полученное уравнение относительно $y$:
$16y^2 + y^2 = 17$
$17y^2 = 17$
$y^2 = 1$
Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$, используя выражение $x = 4y$:
1) При $y_1 = 1$:
$x_1 = 4 \cdot 1 = 4$.
Первое решение: $(4; 1)$.
2) При $y_2 = -1$:
$x_2 = 4 \cdot (-1) = -4$.
Второе решение: $(-4; -1)$.
Ответ: $(4; 1)$, $(-4; -1)$.

в) $ \begin{cases} x^2 - 4y^2 = 9, \\ x - 2y = 1. \end{cases} $
Из второго уравнения $x - 2y = 1$ выразим переменную $x$:
$x = 1 + 2y$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы $x^2 - 4y^2 = 9$:
$(1 + 2y)^2 - 4y^2 = 9$
Раскроем скобки:
$(1 + 4y + 4y^2) - 4y^2 = 9$
Приведем подобные слагаемые:
$1 + 4y = 9$
$4y = 9 - 1$
$4y = 8$
$y = 2$
Теперь найдем соответствующее значение $x$, подставив $y = 2$ в выражение $x = 1 + 2y$:
$x = 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$
Решением системы является пара чисел $(5; 2)$.
Ответ: $(5; 2)$.

г) $ \begin{cases} x^2 + xy = 0, \\ x - 4y = 1. \end{cases} $
Из второго уравнения $x - 4y = 1$ выразим переменную $x$:
$x = 1 + 4y$
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы $x^2 + xy = 0$:
$(1 + 4y)^2 + (1 + 4y)y = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(1 + 8y + 16y^2) + (y + 4y^2) = 0$
$16y^2 + 4y^2 + 8y + y + 1 = 0$
$20y^2 + 9y + 1 = 0$
Получили квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 20 \cdot 1 = 81 - 80 = 1$
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 20} = \frac{-9 + 1}{40} = \frac{-8}{40} = -\frac{1}{5}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 20} = \frac{-9 - 1}{40} = \frac{-10}{40} = -\frac{1}{4}$
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = 1 + 4y$:
1) При $y_1 = -\frac{1}{5}$:
$x_1 = 1 + 4 \cdot (-\frac{1}{5}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
Первое решение: $(\frac{1}{5}; -\frac{1}{5})$.
2) При $y_2 = -\frac{1}{4}$:
$x_2 = 1 + 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = 1 - 1 = 0$.
Второе решение: $(0; -\frac{1}{4})$.
Ответ: $(\frac{1}{5}; -\frac{1}{5})$, $(0; -\frac{1}{4})$.