Номер 37.10, страница 186 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.10. Уравнение окружности с центром в точке (6; -4) и радиусом $R = 7$ имеет вид:

а) $(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 7;$

б) $(x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 7;$

в) $(x + 6)^2 + (y - 4)^2 = 14;$

г) $(x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 49.$

Выберите правильный ответ.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет следующий вид:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи даны:
- Координаты центра окружности: $(6, -4)$. Следовательно, $x_0 = 6$ и $y_0 = -4$.
- Радиус окружности: $R = 7$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности.
1. Подставим координаты центра $(x_0, y_0) = (6, -4)$:
$(x - 6)^2 + (y - (-4))^2 = R^2$
Упростим выражение в скобках для координаты $y$:
$(x - 6)^2 + (y + 4)^2 = R^2$

2. Теперь найдем значение для правой части уравнения, которое равно квадрату радиуса $R^2$:
$R^2 = 7^2 = 49$

3. Объединив все части, получаем итоговое уравнение окружности:
$(x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 49$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

• а) $(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 7$ — неверно. Неправильно указана координата центра $y_0$ и значение квадрата радиуса.
• б) $(x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 7$ — неверно. Неправильно указано значение квадрата радиуса (должно быть $49$).
• в) $(x + 6)^2 + (y - 4)^2 = 14$ — неверно. Неправильно указаны обе координаты центра и значение квадрата радиуса.
• г) $(x - 6)^2 + (y + 4)^2 = 49$ — верно. Это уравнение полностью совпадает с результатом наших вычислений.

Ответ: г)