Номер 37.15, страница 186 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.15. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4}, \\ x + y = 18; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2, \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ x + y = 18 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби в левой части к общему знаменателю:

$$ \frac{y+x}{xy} = \frac{1}{4} $$

Из второго уравнения системы нам известно, что $x+y=18$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$$ \frac{18}{xy} = \frac{1}{4} $$

Из этой пропорции найдем произведение $xy$:

$$ xy = 18 \cdot 4 = 72 $$

Теперь исходную систему можно заменить равносильной системой:

$$ \begin{cases} x + y = 18 \\ xy = 72 \end{cases} $$

Такая система является симметрической и, согласно обратной теореме Виета, ее решения $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 18t + 72 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$$ D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36 $$

Найдем корни уравнения:

$$ t_1 = \frac{18 + \sqrt{36}}{2} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12 $$

$$ t_2 = \frac{18 - \sqrt{36}}{2} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Корни уравнения $t_1 = 12$ и $t_2 = 6$ являются решениями системы для $x$ и $y$. Это дает две пары решений:

1. $x_1 = 12$, $y_1 = 6$

2. $x_2 = 6$, $y_2 = 12$

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(12; 6), (6; 12)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2 \\ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 5 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a^2 - b^2 = 5 \end{cases} $$

Левая часть второго уравнения представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим это во второе уравнение:

$$ (a-b)(a+b) = 5 $$

Из первого уравнения новой системы известно, что $a-b=2$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$$ 2(a+b) = 5 $$

Отсюда находим $a+b$:

$$ a+b = \frac{5}{2} $$

Теперь мы получили простую систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a - b = 2 \\ a + b = \frac{5}{2} \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $a$:

$$ (a-b) + (a+b) = 2 + \frac{5}{2} $$

$$ 2a = \frac{4}{2} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} $$

$$ a = \frac{9}{4} $$

Подставим найденное значение $a$ в уравнение $a+b = \frac{5}{2}$, чтобы найти $b$:

$$ \frac{9}{4} + b = \frac{5}{2} $$

$$ b = \frac{5}{2} - \frac{9}{4} = \frac{10}{4} - \frac{9}{4} = \frac{1}{4} $$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$$ a = \frac{1}{x} \implies \frac{9}{4} = \frac{1}{x} \implies x = \frac{4}{9} $$

$$ b = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{4} = \frac{1}{y} \implies y = 4 $$

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(\frac{4}{9}; 4)$.