Номер 37.22, страница 187 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.22. Определите взаимное расположение окружностей $x^2 + (y+1)^2 = 1$ и $(x+2)^2 + (y-1)^2 = 1$.

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо найти их центры и радиусы, а затем сравнить расстояние между центрами с суммой их радиусов.

Уравнение окружности в общем виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Для первой окружности, заданной уравнением $x^2 + (y + 1)^2 = 1$, или $(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = 1^2$, центр $O_1$ имеет координаты $(0, -1)$, а радиус $R_1 = 1$.

Для второй окружности, заданной уравнением $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$, или $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 1^2$, центр $O_2$ имеет координаты $(-2, 1)$, а радиус $R_2 = 1$.

Теперь вычислим расстояние $d$ между центрами $O_1(0, -1)$ и $O_2(-2, 1)$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$d = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{4 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 1 + 1 = 2$.

Сравним расстояние между центрами $d = 2\sqrt{2}$ с суммой радиусов $R_1 + R_2 = 2$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $2\sqrt{2} \approx 2.828$. Таким образом, $2\sqrt{2} > 2$, что означает $d > R_1 + R_2$.

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек и расположены одна вне другой.

Ответ: окружности не пересекаются (расположены одна вне другой).