Номер 37.23, страница 188 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

37.23. Определите число точек пересечения окружности $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ и параболы $y = x^2$.

Для определения числа точек пересечения необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений окружности и параболы.

Система уравнений имеет вид:

$ \begin{cases} x^2 + (y-2)^2 = 4 & \text{(1) Уравнение окружности} \\ y = x^2 & \text{(2) Уравнение параболы} \end{cases} $

Это наиболее удобно сделать методом подстановки. Подставим выражение для $x^2$ из второго уравнения в первое:

$y + (y-2)^2 = 4$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $y$. Раскроем скобки:

$y + y^2 - 4y + 4 = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 3y + 4 - 4 = 0$

$y^2 - 3y = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(y-3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y_2 - 3 = 0 \Rightarrow y_2 = 3$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$ из уравнения параболы $y = x^2$.

Случай 1: $y = 0$

Подставляем в уравнение $y = x^2$:

$0 = x^2$

$x = 0$

Это дает нам одну точку пересечения с координатами $(0, 0)$.

Случай 2: $y = 3$

Подставляем в уравнение $y = x^2$:

$3 = x^2$

$x = \pm\sqrt{3}$

Это дает нам еще две точки пересечения с координатами $(-\sqrt{3}, 3)$ и $(\sqrt{3}, 3)$.

Всего мы получили три уникальные точки пересечения: $(0, 0)$, $(-\sqrt{3}, 3)$ и $(\sqrt{3}, 3)$. Следовательно, число точек пересечения равно трем.

Ответ: 3